Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\max \left\{ {{x^3},x} \right\}} {\rm{d}}x\).

DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\max \left\{ {{x^3},x} \right\}} {\rm{d}}x\).

A.\(\frac{9}{4}\).

B. \(\frac{{17}}{4}\).

C. \(\frac{{19}}{4}\).

D. \(\frac{{11}}{4}\).

GY::

Đặt \(f\left( x \right) = {x^3} – x\) ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu ta có.

\(\forall x \in \left[ {0;1} \right],f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow {x^3} – x \le 0 \Leftrightarrow {x^3} \le x \Rightarrow \max \left\{ {{x^3},x} \right\} = x\).

\(\forall x \in \left[ {1;2} \right],f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow {x^3} – x \ge 0 \Leftrightarrow {x^3} \ge x \Rightarrow \max \left\{ {{x^3},x} \right\} = {x^3}\).

Ta có: \(I = \int\limits_0^2 {\max \left\{ {{x^3},x} \right\}} {\rm{d}}x\)\( = \int\limits_0^1 {\max \left\{ {{x^3},x} \right\}} {\rm{d}}x + \int\limits_1^2 {\max \left\{ {{x^3},x} \right\}} {\rm{d}}x\).

Nên \(I = \int\limits_0^2 {\max \left\{ {{x^3},x} \right\}} {\rm{d}}x\)\( = \int\limits_0^1 x {\rm{d}}x + \int\limits_1^2 {{x^3}} {\rm{d}}x = \left. {\frac{1}{2}{x^2}} \right|_0^1 + \left. {\frac{1}{4}{x^4}} \right|_1^2 = \frac{{17}}{4}\).