Câu hỏi:
Tìm tổng các giá trị của số thực \(a\) sao cho phương trình \({z^2} + 3z + {a^2} – 2a = 0\) có nghiệm phức
\({z_0}\) thỏa \(\left| {{z_0}} \right| = 2\).
A. \(0\).
B. \(2\).
C. \(6\).
D. \(4\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
+) Trường hợp \({z_0} \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\left| {{z_0}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_0} = 2{\rm{ }}}\\{{z_0} = – 2}\end{array}} \right.\).
Nếu \({z_0} = 2\) thì \({a^2} – 2a + 10 = 0\) không có nghiệm thực \(a\).
Nếu \({z_0} = – 2\) thì \({a^2} – 2a – 2 = 0\) luôn có nghiệm thực \(a\) và theo định lý Vi-ét tổng hai nghiệm thực này là \(2\) \(\left( 1 \right)\).
+) Trường hợp phương trình \({z^2} + 3z + {a^2} – 2a = 0\) có nghiệm phức \({z_0} \notin \mathbb{R}\) thì \({\bar z_0}\) cũng là nghiệm phức của phương trình.
Vì \(\left| {{z_0}} \right| = 2\) nên \({z_0}.{\bar z_0} = {\left| {{z_0}} \right|^2} = 4\).
Theo định lý Vi-ét ta có \({z_0}.{\bar z_0} = \frac{{{a^2} – 2a}}{1} = {a^2} – 2a\)\( \Rightarrow {a^2} – 2a = 4 \Leftrightarrow {a^2} – 2a – 4 = 0\) \(\left( * \right)\).
Phương trình \(\left( * \right)\) luôn có hai nghiệm thực phân biệt, theo định lý Vi-ét ta có tổng các giá trị của số thực \(a\) bằng \(2\) \(\left( 2 \right)\).
+) Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra tổng các giá trị của số thực \(a\) sao cho phương trình \({z^2} + 3z + {a^2} – 2a = 0\) có nghiệm phức \({z_0}\) thỏa \(\left| {{z_0}} \right| = 2\) là \(4\).
=======
Trả lời