Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1
========
Vấn đề 10. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1.
==============
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right],$ thỏa $\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} \left[f^2(x)-2\sqrt{2}f(x)\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right]\mathrm{d}x=\dfrac{2-\pi}{2}$. Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} f(x)\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=0$
$I=\dfrac{\pi}{4}$
$I=1$
$I=\dfrac{\pi}{2}$
Lời Giải:
Ta có $\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} 2\sin^2\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\mathrm{d}x=-\dfrac{2-\pi}{2}$.
Do đó giả thiết tương đương với $\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} \left[f^2(x)-2\sqrt{2}f(x)\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sin^2\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right]\mathrm{d}x=0$.
$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} \left[f(x)-\sqrt{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right]^2\mathrm{\,d}x=0 \Leftrightarrow f(x)-\sqrt{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0,\,\forall x \in \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]$.
Suy ra $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) \to I=\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} f(x)\mathrm{\,d}x=\sqrt{2}\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\mathrm{d}x=0$.
==============
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0; 1]$ thỏa $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f^2(x)+2\ln^2\dfrac{2}{\mathrm{e}}\right]\mathrm{d}x=2\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f(x)\ln (x+1)\right]\mathrm{d}x$.
Tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=\ln \dfrac{\mathrm{e}}{4}$
$I=\ln \dfrac{4}{\mathrm{e}}$
$I=\ln \dfrac{\mathrm{e}}{2}$
$I=\ln \dfrac{2}{\mathrm{e}}$
Lời Giải:
Bằng phương pháp tích phân từng phần ta tính được\\
$\displaystyle\int\limits_0^1 \ln^2(x+1)\mathrm{\,d}x=2\ln^2\dfrac{2}{\mathrm{e}}=\displaystyle\int\limits_0^1 2\ln^2\dfrac{2}{\mathrm{e}}\mathrm{\,d}x$.
Do đó giả thiết tương đương với $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f(x)-\ln (1+x)\right]^2\mathrm{\,d}x=0 \Leftrightarrow f(x) \equiv \ln (1+x),\,\forall x \in [0; 1]$.
Suy ra $\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^1 \ln (1+x)\mathrm{\,d}x=\ln \dfrac{4}{\mathrm{e}}$.
==============
Cho hàm số $f(x)$ có đạo liên tục trên $[0; 1], f(x)$ và $f'(x)$ đều nhận giá trị dương trên $[0; 1]$ và thỏa mãn $f(0)=2$ và $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f'(x) \cdot \left[f(x)\right]^2+1\right]\mathrm{d}x=2\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{f'(x)} \cdot f(x)\mathrm{\,d}x$.
Tính $I=\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f(x)\right]^3\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=\dfrac{15}{4}$
$I=\dfrac{15}{2}$
$I=\dfrac{17}{2}$
$I=\dfrac{19}{2}$
Lời Giải:
Giả thiết tương đương với $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[\sqrt{f'(x)} \cdot f(x)-1\right]^2\mathrm{\,d}x=0$.
$ \to \sqrt{f'(x)} \cdot f(x)=1,\,\forall x \in [0; 1] \to f'(x)f^2(x)=1 \to \displaystyle\int\limits f'(x)f^2(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits \mathrm{\,d}x$.
$ \to \dfrac{f^3(x)}{3}=x+C\xrightarrow{f(0)=2}C=\dfrac{8}{3}$.
Vậy $f^3(x)=3x+8 \to I=\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f(x)\right]^3\mathrm{\,d}x=\dfrac{19}{2}$.
==============
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn $[0; 1]$ và thỏa mãn $f(0)=1, 3\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f'(x) \cdot \left[f(x)\right]^2+\dfrac{1}{9}\right]\mathrm{d}x=2\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{f'(x)} \cdot f(x)\mathrm{\,d}x$. Tính $I=\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f(x)\right]^3\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=\dfrac{3}{2}$
$I=\dfrac{5}{4}$
$I=\dfrac{5}{6}$
$I=\dfrac{7}{6}$
Lời Giải:
Giả thiết $\Leftrightarrow 3\displaystyle\int\limits_0^1 \left[\sqrt{f'(x)} \cdot f(x)\right]^2\mathrm{\,d}x+\dfrac{1}{3}=2\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{f'(x)} \cdot f(x)\mathrm{\,d}x$.
$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_0^1 \left[3\sqrt{f'(x)} \cdot f(x)\right]^2\mathrm{\,d}x-2\displaystyle\int\limits_0^1 3\sqrt{f'(x)} \cdot f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_0^1 \mathrm{\,d}x=0 \Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_0^1 \left[3\sqrt{f'(x)} \cdot f(x)-1\right]^2\mathrm{\,d}x=0$.
$ \to 3\sqrt{f'(x)} \cdot f(x)-1=0,\,\forall x \in [0; 1] \to 9f'(x) \cdot f^2(x)=1 \to \displaystyle\int 9f'(x) \cdot f^2(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int \mathrm{\,d}x$.
$ \to 9 \cdot \dfrac{f^3(x)}{3}=x+C\xrightarrow{f(0)=1}C=3$.
Vậy $f^3(x)=\dfrac{1}{3}x+1 \to \displaystyle\int\limits_0^1 \left[f(x)\right]^3\mathrm{\,d}x=\dfrac{7}{6}$.
==============
Trả lời