DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^3} – x}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{ – 3x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 1}\end{array}} \right.\). Biết \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{f\left( {\tan x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx + \int\limits_0^{\sqrt {\sqrt e – 1} } {\frac{{x.f\left( {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right)}}{{{x^2} + 1}}} dx = \frac{a}{b}\)với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của tổng \(a + b\) bằng
A.\(69\).
B. \(68\).
C. \(67\).
D. \(66\).
GY::
\(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{f\left( {\tan x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx + \int\limits_0^{\sqrt {\sqrt e – 1} } {\frac{{x.f\left( {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right)}}{{{x^2} + 1}}} dx = {I_1} + {I_2}\)
Đặt \(t = \tan x \Rightarrow dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\\x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow t = \sqrt 3 \end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {f\left( t \right)dt} = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {f\left( x \right)dx} \)
Đặt \(t = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow dt = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}dx \Rightarrow \frac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \frac{1}{2}dt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \sqrt {\sqrt e – 1} \Rightarrow t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {I_2} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( x \right)dx} \)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^3} – x}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{ – 3x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 1}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = {I_1} + {I_2} = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\left( {2{x^3} – x} \right)dx + } \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { – 3x + 2} \right)dx = } \frac{{53}}{{16}} \Rightarrow a = 53,\;b = 16\).
Vậy \(a + b = 69\)
Trả lời