DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\{ – 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2}\end{array}} \right.\). Tính tích phân
\(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{x.f\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx + \int\limits_{\ln 2}^{\ln 3} {{e^{2x}}.f\left( {1 + {e^{2x}}} \right)dx} \)
A.\(84\).
B. \(83\).
C. \(48\).
D. \( – 84\).
GY::
Ta có: \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{x.f\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx + \int\limits_{\ln 2}^{\ln 3} {{e^{2x}}.f\left( {1 + {e^{2x}}} \right)dx} = {I_1} + {I_2}\)
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow 2tdt = 2xdx \Rightarrow xdx = tdt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\{ – 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_1^2 {\left( { – 2x + 12} \right)dx} = 9\).
Đặt \(t = 1 + {e^{2x}} \Rightarrow dt = 2{e^{2x}}dx \Rightarrow {e^{2x}}dx = \frac{1}{2}dt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = \ln 2 \Rightarrow t = 5\\x = \ln 3 \Rightarrow t = 10\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {I_2} = \frac{1}{2}\int\limits_5^{10} {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_5^{10} {f\left( x \right)dx} \)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\{ – 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow {I_2} = \frac{1}{2}\int\limits_5^{10} {4x} = 75\).
Vậy \(I = {I_1} + {I_2} = 84\)
Trả lời