DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hai hàm \(f(x)\) và \(g(x)\)có đạo hàm trên \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(f(1) = g(1) = 0\) và
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{{{(x + 1)}^2}}}g(x) + 2017x = (x + 1)f'(x)\\\frac{{{x^3}}}{{x + 1}}g'(x) + f(x) = 2018{x^2}\end{array} \right.{\rm{, }}\forall x \in \left[ {1;2} \right].\)
Tính tích phân\(I = \int\limits_1^2 {\left[ {\frac{x}{{x + 1}}g(x) – \frac{{x + 1}}{x}f(x)} \right]} dx\).
A.\(I = \frac{1}{2}\).
B. \(I = 1\).
C. \(I = \frac{3}{2}\).
D. \(I = 2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Từ giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}g(x) – \frac{{x + 1}}{x}f'(x) = – 2017\\\frac{x}{{x + 1}}g'(x) + \frac{1}{{{x^2}}}f(x) = 2018\end{array} \right.{\rm{, }}\forall x \in \left[ {1;2} \right].\)
Suy ra:
\(\begin{array}{l}\left[ {\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}g(x) + \frac{x}{{x + 1}}g'(x)} \right] – \left[ {\frac{{x + 1}}{x}f'(x) – \frac{1}{{{x^2}}}f(x)} \right] = 1 \Leftrightarrow {\left[ {\frac{x}{{x + 1}}g(x)} \right]^\prime } – {\left[ {\frac{{x + 1}}{x}f(x)} \right]^\prime } = 1\\ \Rightarrow \frac{x}{{x + 1}}g(x) – \frac{{x + 1}}{x}f(x) = x + C.\end{array}\)
Mà \(f(1) = g(1) = 0 \Rightarrow C = – 1 \Rightarrow \)\(I = \int\limits_1^2 {\left[ {\frac{x}{{x + 1}}g(x) – \frac{{x + 1}}{x}f(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 {(x – 1)dx = \frac{1}{2}} .\)
Trả lời