DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) đồng thời thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0,{\kern 1pt} \;\forall x \in \mathbb{R}\\f’\left( x \right) = – {e^x}{f^2}\left( x \right),{\kern 1pt} \;\forall x \in \mathbb{R}\\f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\end{array} \right..\)
Tính giá trị của \(f\left( {\ln 2} \right)\).
A.\(f\left( {\ln 2} \right) = \frac{1}{4}\).
B. \(f\left( {\ln 2} \right) = \frac{1}{3}\).
C. \(f\left( {\ln 2} \right) = \ln 2 + \frac{1}{2}\).
D. \(f\left( {\ln 2} \right) = {\ln ^2}2 + \frac{1}{2}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \(f’\left( x \right) = – {e^x}{f^2}\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{f’\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = – {e^x}\) ( do \(f\left( x \right) > 0\))
\( \Rightarrow \int {\frac{{f’\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}{\rm{d}}x} = \int { – {e^x}{\rm{d}}x \Rightarrow } \)\( – \frac{1}{{f\left( x \right)}} = – {e^x} + C \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{{e^x} – C}}\).
Mà \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{{{e^0} – C}} = \frac{1}{2} \Rightarrow C = – 1\).
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{{e^x} + 1}} \Rightarrow f\left( {\ln 2} \right) = \frac{1}{{{e^{\ln 2}} + 1}} = \frac{1}{3}\).
Trả lời