Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {1 + x} \right| – \left| {1 – x} \right|\) trên tập \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 3\). Tính tổng \(F\left( 0 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( { – 3} \right)\).

DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {1 + x} \right| – \left| {1 – x} \right|\) trên tập \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 3\). Tính tổng \(F\left( 0 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( { – 3} \right)\).

A.\(8\).

B. \(12\).

C. \(14\).

D. \(10\).

GY::

Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:

Ta có: \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = F\left( 2 \right) – F\left( 1 \right) = F\left( 2 \right) – 3\) mà \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_1^2 {2{\rm{d}}x}  = 2\) nên \(F\left( 2 \right) = 5\).

Ø \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = F\left( 1 \right) – F\left( 0 \right) = 3 – F\left( 0 \right)\) mà \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {2x{\rm{d}}x}  = {x^2}\left| {_0^1} \right. = 1\) nên \(F\left( 0 \right) = 2\).

Ø \(\int\limits_{ – 1}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = F\left( 0 \right) – F\left( { – 1} \right) = 2 – F\left( { – 1} \right)\) mà \(\int\limits_{ – 1}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_{ – 1}^0 {2x{\rm{d}}x}  = {x^2}\left| {_{ – 1}^0 =  – 1} \right.\) nên \(F\left( { – 1} \right) = 3\).

Ø \(\int\limits_{ – 3}^{ – 1} {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = F\left( { – 1} \right) – F\left( { – 3} \right) = 3 – F\left( { – 3} \right)\) mà \(\int\limits_{ – 3}^{ – 1} {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_{ – 3}^{ – 1} { – 2{\rm{d}}x}  =  – 4\) nên \(F\left( { – 3} \right) = 7\).

Vậy \(F\left( 0 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( { – 3} \right) = 2 + 5 + 7 = 14\).