DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4\), \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 6\). Tính \(I = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( {\left| {2x + 1} \right|} \right){\rm{d}}x} \)
A.\(I = 3\).
B. \(I = 5\).
C. \(I = 6\).
D. \(I = 4\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \(u = 2x + 1\)\( \Rightarrow {\mathop{\rm d}\nolimits} x = \frac{1}{2}{\mathop{\rm d}\nolimits} u\). Khi \(x = – 1\) thì \(u = – 1\). Khi \(x = 1\) thì \(u = 3\).
Nên \(I = \frac{1}{2}\int\limits_{ – 1}^3 {f\left( {\left| u \right|} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} u} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_{ – 1}^0 {f\left( {\left| u \right|} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} u} + \int\limits_0^3 {f\left( {\left| u \right|} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} u} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_{ – 1}^0 {f\left( { – u} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} u} + \int\limits_0^3 {f\left( u \right){\mathop{\rm d}\nolimits} u} } \right)\).
Xét \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = 4\). Đặt \(x = – u\)\( \Rightarrow {\mathop{\rm d}\nolimits} x = – {\mathop{\rm d}\nolimits} u\).
Khi \(x = 0\) thì \(u = 0\). Khi \(x = 1\) thì \(u = – 1\).
Nên \(4 = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \)\( – \int\limits_0^{ – 1} {f\left( { – u} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} u} \)\( = \int\limits_{ – 1}^0 {f\left( { – u} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} u} \).
Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = 6\)\( \Rightarrow \int\limits_0^3 {f\left( u \right){\mathop{\rm d}\nolimits} u} = 6\).
Nên \(I = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_{ – 1}^0 {f\left( { – u} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} u} + \int\limits_0^3 {f\left( u \right){\mathop{\rm d}\nolimits} u} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {4 + 6} \right) = 5\).
Trả lời