DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{2x – 3}&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\). Biết \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(2\sin x – 1)\cos x\;dx} + \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx} = \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của tích \(a + b\) bằng
A.\(305\).
B. \( – 305\).
C. \(350\).
D. \( – 350\).
GY::
\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(2\sin x – 1)\cos x\;dx} + \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx} = {I_1} + {I_2}\)
Đặt \(t = 2\sin x – 1 \Rightarrow dt = 2\cos xdx \Rightarrow \cos xdx = \frac{{dt}}{2}\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = – 1\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {I_1} = \frac{1}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} \)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{2x – 3}&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_{ – 1}^0 {\left( {2x – 3} \right)dx + } \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x + 1} \right)dx} } \right) = – \frac{{13}}{{12}}\).
Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = e \Rightarrow t = 1\\x = {e^2} \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {I_2} = \int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{2x – 3}&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + x + 1} \right)dx} = \frac{{29}}{6}\).
\( \Rightarrow I = {I_1} + {I_2} = – \frac{{377}}{{72}} \Rightarrow a = – 377,\;b = 72\)
Vậy \(a + b = – 305\)
Trả lời