(THPT Yên Phong 1 – Bắc Ninh – 2022) Cho hàm số \(f\left( x \right) = – {x^4} – \left( {4 – {m^2}} \right)x + 2020\) và \(g\left( x \right) = – {x^3} + 5{x^2} – 2020x + 2021\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để \(h\left( x \right) = g\left[ {f\left( x \right)} \right]\) đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)?
A. \(7\).
B. \(6\).
C. \(12\).
D. \(13\).
Lời giải:
Chọn B
+) \(h’\left( x \right) = f’\left( x \right)g’\left[ {f\left( x \right)} \right]\).
Xét hàm \(g\left( t \right) = – {t^3} + 5{t^2} – 2020t + 2021 \Rightarrow g’\left( t \right) = – 3{t^2} + 10t – 2020 < 0,\quad \forall t \in \mathbb{R}\).
Suy ra \(g’\left[ {f\left( x \right)} \right] < 0,\;\,\forall f\left( x \right) \in \mathbb{R}\).
\(h\left( x \right) = g\left[ {f\left( x \right)} \right]\) đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow \)\(h’\left( x \right) \ge 0\) với \(\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow f’\left( x \right).g’\left[ {f\left( x \right)} \right] \ge 0,\;\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow f’\left( x \right)g’\left[ {f\left( x \right)} \right] \ge 0,\;\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)(vì \(g’\left[ {f\left( x \right)} \right] < 0\forall f\left( x \right) \in \mathbb{R}\))
\( \Leftrightarrow f’\left( x \right) \le 0,\;\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow – 4{x^3} – 4 + {m^2} \le 0,\;\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow {m^2} \le 4{x^3} + 4,\;\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow {m^2} \le \mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} \).
+) Xét hàm số \(k\left( x \right) = 4{x^3} + 4\), \(\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)
Bảng biến thiên của hàm số \(k\left( x \right) = 4{x^3} + 4 \Rightarrow k’\left( x \right) = 12{x^2} \ge 0\) trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Từ BBT suy ra \({m^2} \le 36 \Leftrightarrow – 6 \le m \le 6\) thì hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Do \(m\) nguyên dương nên \(m = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)suy ra có \(6\) giá trị nguyên của tham số \(m\).
Trả lời