Lời giải::
Chọn B Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Khi đó elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1 \Rightarrow y = \pm \sqrt {1 – \frac{{{x^2}}}{4}} \)
Tại \(x = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên các parabol có phương trình là \(y = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2}\)
Từ đó diện tích elip là: \(S = 2\pi \)
Diện tích phần trồng hoa: \({S_1} = 2\int\limits_{ – 1}^1 {\left( {\sqrt {1 – \frac{{{x^2}}}{4}} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2}} \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ – 1}^1 {\sqrt {4 – {x^2}} } {\rm{d}}x – \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Xét \(I = \int\limits_{ – 1}^1 {\sqrt {4 – {x^2}} } dx\), đặt \(x = 2\sin t\) ta được \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\sqrt {4 – 4{{\sin }^2}t} 2\cos t\,{\rm{d}}t} \)\( = 2\int\limits_{ – \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {2{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t} \)\( = 2\int\limits_{ – \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} \)\( = 2\left. {\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_{ – \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}\)\( = \frac{{2\pi }}{3} + \sqrt 3 \).
Do đó \({S_1} = \frac{{2\pi }}{3} + \sqrt 3 – \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2\pi + \sqrt 3 }}{3}\) Suy ra \({S_2} = 2\pi – \frac{{2\pi + \sqrt 3 }}{3} = \frac{{4\pi – \sqrt 3 }}{3}\)
Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{2\pi + \sqrt 3 }}{{4\pi – \sqrt 3 }}\)
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Ứng dụng Tích phân
Để lại phản hồi