Lời giải::
Chọn D
Dựng hệ trục \(Oxy\) như sau:
Khi đó \(\left( {{C_1}} \right):y = a{x^2} + 5 – 100a\) với \(a > 0\).
Tiếp tuyến \(d\) của \(\left( {{C_1}} \right)\) tại \(D\left( {10;5} \right)\) có hệ số góc là \(\tan \alpha = 20a\).
Dựng hệ trục \(Ouv\) như sau:
Xét trong \(Ouv\) ta thấy \(\left( {{C_2}} \right):v = A{u^2} + B\) và \(d\) có hệ số góc là \(\tan \beta = – \frac{1}{{\tan \alpha }} = – \frac{1}{{20a}}\)
Do \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(D\left( { – 5;10} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2A\left( { – 5} \right) = – \frac{1}{{20a}}\\10 = 25A + B\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}A = \frac{1}{{200a}}\\B = 10 – \frac{1}{{8a}}\end{array} \right.\).
Đến đây ta có \({S_1} = \int\limits_0^{10} {\left( { – a{x^2} + 100a} \right){\rm{d}}x} = \frac{{2000a}}{3}\), \({S_2} = \int\limits_0^5 {\left( { – \frac{{{x^2}}}{{200a}} + \frac{1}{{8a}}} \right){\rm{d}}u} = \frac{5}{{12a}}\)
Do đó diện tích của khu vực trồng hoa là \(f\left( a \right) = 200 – 4\left( {\frac{{2000a}}{3} + \frac{5}{{12a}}} \right)\).
Ta có \(f\left( a \right) \le 200 – 4.2\sqrt {\frac{{2000a}}{3}.\frac{5}{{12a}}} = \frac{{200}}{3}\), đẳng thức xảy ra khi \(a = \frac{1}{{40}}\).
Tóm lại, diện tích của khu vực trồng hoa có thể lớn nhất là \(\frac{{200}}{3}\,{{\rm{m}}^2}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Ứng dụng Tích phân
Trả lời