Người ta phân khu vườn hình chữ nhật \(ABCD\), \(AB = 10{\rm{m}}\), \(AD = 20{\rm{m}}\)thành năm khu vực bởi bốn parabol rồi trồng hoa ở khu vực trung tâm như hình vẽ kèm theo. Trong đó:➀ Hai parabol kề nhau tiếp xúc nhau tại một trong các điểm \(A,\,B,\,C,\,D\).➁ Khu vực trồng hoa là một hình có hai trục đối xứng.Với việc làm như đã nêu thì diện tích của khu vực trồng hoa có thể đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

Người ta phân khu vườn hình chữ nhật \(ABCD\), \(AB = 10{\rm{m}}\), \(AD = 20{\rm{m}}\)thành năm khu vực bởi bốn parabol rồi trồng hoa ở khu vực trung tâm như hình vẽ kèm theo. Trong đó:➀ Hai parabol kề nhau tiếp xúc nhau tại một trong các điểm \(A,\,B,\,C,\,D\).➁ Khu vực trồng hoa là một hình có hai trục đối xứng.Với việc làm như đã nêu thì diện tích của khu vực trồng hoa có thể đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải::

Chọn D

Dựng hệ trục \(Oxy\) như sau:

Khi đó \(\left( {{C_1}} \right):y = a{x^2} + 5 – 100a\) với \(a > 0\).

Tiếp tuyến \(d\) của \(\left( {{C_1}} \right)\) tại \(D\left( {10;5} \right)\) có hệ số góc là \(\tan \alpha = 20a\).

Dựng hệ trục \(Ouv\) như sau:

Xét trong \(Ouv\) ta thấy \(\left( {{C_2}} \right):v = A{u^2} + B\) và \(d\) có hệ số góc là \(\tan \beta = – \frac{1}{{\tan \alpha }} = – \frac{1}{{20a}}\)

Do \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(D\left( { – 5;10} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2A\left( { – 5} \right) = – \frac{1}{{20a}}\\10 = 25A + B\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}A = \frac{1}{{200a}}\\B = 10 – \frac{1}{{8a}}\end{array} \right.\).

Đến đây ta có \({S_1} = \int\limits_0^{10} {\left( { – a{x^2} + 100a} \right){\rm{d}}x} = \frac{{2000a}}{3}\), \({S_2} = \int\limits_0^5 {\left( { – \frac{{{x^2}}}{{200a}} + \frac{1}{{8a}}} \right){\rm{d}}u} = \frac{5}{{12a}}\)

Do đó diện tích của khu vực trồng hoa là \(f\left( a \right) = 200 – 4\left( {\frac{{2000a}}{3} + \frac{5}{{12a}}} \right)\).

Ta có \(f\left( a \right) \le 200 – 4.2\sqrt {\frac{{2000a}}{3}.\frac{5}{{12a}}} = \frac{{200}}{3}\), đẳng thức xảy ra khi \(a = \frac{1}{{40}}\).

Tóm lại, diện tích của khu vực trồng hoa có thể lớn nhất là \(\frac{{200}}{3}\,{{\rm{m}}^2}\).