Chuẩn bị cho lễ Halloween, bạn Nam đã làm một chiếc mũ “cách điệu” có hình dáng là một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ sau đây. Biết rằng \(OO’ = 5cm,\;OA = 10cm,\;OB = 20cm\), đường cong \(AB\) là một phần của parabol có đỉnh là điểm \(A\). Thể tích của chiếc mũ bằng

Câu hỏi: A. \(\frac{{2250\pi }}{3}\;\left( {c{m^3}} \right)\). B. \(\frac{{2500\pi }}{3}\;\left( {c{m^3}} \right)\). C. \(\frac{{2750\pi }}{3}\;\left( {c{m^3}} \right)\). D. \(\frac{{2050\pi }}{3}\;\left( {c{m^3}} \right)\).

Lời giải::

Chọn B

Gắn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ.

Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) là parabol qua điểm \(B\left( {0;20} \right)\) và có đỉnh là \(A\left( {10;0} \right)\).

Khi đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 20\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{10}^2}a + 10b + c = 0}\\{ – \frac{b}{{2a}} = 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 20\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{100a + 10b + c = 0}\\{20a + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{5}}\\{b = – 4}\\{c = 20}\end{array}} \right.\).

Suy ra: \(\left( P \right):y = \frac{1}{5}{x^2} – 4x + 20\) hay \(y = \frac{1}{5}{\left( {x – 10} \right)^2} \Leftrightarrow x = 10 \pm \sqrt {5y} \)

Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x = 10 – \sqrt {5y} \), \(x = 0\), \(y = 0\) và \(y = 20\).

Khi đó thể tích của cái mũ chia làm hai phần:

Phần 1: Thể tích \({V_1}\) có được khi cho hình \(\left( H \right)\) quay quanh trục \(Oy\).

Phần 2: Thể tích \({V_2}\) có được khi cho hình chữ nhật \(OAMO’\) quay quanh trục \(Oy\).

Ta có \({V_1} = \pi \mathop \smallint \nolimits_0^{20} {\left( {10 – \sqrt {5y} } \right)^2}dy\)

Đặt \(t = \sqrt {5y} \) suy ra \({t^2} = 5y\). Khi đó \(2tdt = 5dy \Leftrightarrow dy = \frac{2}{5}tdt\)

Đổi cận: \(y = 0 \Rightarrow t = 0\); \(y = 20 \Rightarrow t = 10\).

Khi đó:\({V_1} = \pi \mathop \smallint \nolimits_0^{10} \frac{2}{5}t{\left( {10 – t} \right)^2}dt = \frac{{2\pi }}{5}\mathop \smallint \nolimits_0^{10} \left( {{t^3} – 20{t^2} + 100t} \right)dt = \left. {\frac{{2\pi }}{5}\left( {\frac{{{t^4}}}{4} – 20\frac{{{t^3}}}{3} + 50{t^2}} \right)} \right|_0^{10} = \frac{{1000\pi }}{3}\).

Ta có \({V_2}\) là thể tích khối trụ có chiều cao \(h = 5\) và bán kính đường tròn đáy là \(R = 10\).

Khi đó: \({V_2} = \pi {R^2}h = \pi {.10^2}.5 = 500\pi \).

Vậy thể tích của chiếc mũ là \(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{2500\pi }}{3}\;\left( {c{m^3}} \right)\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Ứng dụng Tích phân