Lời giải::
Chọn B
Gắn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ.
Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) là parabol qua điểm \(B\left( {0;20} \right)\) và có đỉnh là \(A\left( {10;0} \right)\).
Khi đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 20\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{10}^2}a + 10b + c = 0}\\{ – \frac{b}{{2a}} = 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 20\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{100a + 10b + c = 0}\\{20a + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{5}}\\{b = – 4}\\{c = 20}\end{array}} \right.\).
Suy ra: \(\left( P \right):y = \frac{1}{5}{x^2} – 4x + 20\) hay \(y = \frac{1}{5}{\left( {x – 10} \right)^2} \Leftrightarrow x = 10 \pm \sqrt {5y} \)
Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x = 10 – \sqrt {5y} \), \(x = 0\), \(y = 0\) và \(y = 20\).
Khi đó thể tích của cái mũ chia làm hai phần:
Phần 1: Thể tích \({V_1}\) có được khi cho hình \(\left( H \right)\) quay quanh trục \(Oy\).
Phần 2: Thể tích \({V_2}\) có được khi cho hình chữ nhật \(OAMO’\) quay quanh trục \(Oy\).
Ta có \({V_1} = \pi \mathop \smallint \nolimits_0^{20} {\left( {10 – \sqrt {5y} } \right)^2}dy\)
Đặt \(t = \sqrt {5y} \) suy ra \({t^2} = 5y\). Khi đó \(2tdt = 5dy \Leftrightarrow dy = \frac{2}{5}tdt\)
Đổi cận: \(y = 0 \Rightarrow t = 0\); \(y = 20 \Rightarrow t = 10\).
Khi đó:\({V_1} = \pi \mathop \smallint \nolimits_0^{10} \frac{2}{5}t{\left( {10 – t} \right)^2}dt = \frac{{2\pi }}{5}\mathop \smallint \nolimits_0^{10} \left( {{t^3} – 20{t^2} + 100t} \right)dt = \left. {\frac{{2\pi }}{5}\left( {\frac{{{t^4}}}{4} – 20\frac{{{t^3}}}{3} + 50{t^2}} \right)} \right|_0^{10} = \frac{{1000\pi }}{3}\).
Ta có \({V_2}\) là thể tích khối trụ có chiều cao \(h = 5\) và bán kính đường tròn đáy là \(R = 10\).
Khi đó: \({V_2} = \pi {R^2}h = \pi {.10^2}.5 = 500\pi \).
Vậy thể tích của chiếc mũ là \(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{2500\pi }}{3}\;\left( {c{m^3}} \right)\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Ứng dụng Tích phân
Trả lời