(THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – 2022) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({9^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} – \left( {m + 3} \right){3^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} + 2m + 1 = 0\) có nghiệm thực

A. \(7\).

B. \(5\).

C. \(6\).

D. \(4\).

Lời giải:

Chọn A

Điều kiện: \( – 1 \le x \le 1\).

Đặt: \(t = {3^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }},\,\,t \in \left[ {3;9} \right]\).

Phương trình trở thành: \({t^2} – \left( {m + 3} \right)t + 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m(t – 2) = {t^2} – 3t + 1 \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} – 3t + 1}}{{t – 2}}\,\,(1)\)

Xét hàm số \(f(t) = \frac{{{t^2} – 3t + 1}}{{t – 2}},\,t \in \left[ {3;9} \right]\).

Ta có \(f'(t) = \frac{{{t^2} – 4t + 5}}{{{{\left( {t – 2} \right)}^2}}} > 0,\,t \in \left[ {3;9} \right]\)\( \Rightarrow \)Hàm số luôn đồng biến trên đoạn \(\left[ {3;9} \right]\)

Vậy \(f(3) \le f(t) \le f(9)\) hay \(1 \le f(t) \le \frac{{55}}{7}\).

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(t \in \left[ {3;9} \right] \Leftrightarrow 1 \le m \le \frac{{55}}{7}\).

Vì \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\).