(THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc 3 có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 100;100} \right]\) để hàm số \(h\left( x \right) = \left| {{f^2}\left( x \right) + 4f\left( x \right) + 3m} \right|\) có đúng 3 điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng
A. \(5047\).
B. \(5049\).
C. \(5043\).
D. \(5050\).
Lời giải:
Chọn B
Đặt \(g\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) + 4f\left( x \right) + 3m\); \(g’\left( x \right) = 2f\left( x \right).f’\left( x \right) + 4f’\left( x \right)\).
\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2f’\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) + 2} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f’\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = – 2\end{array} \right.\).
Dựa vào đồ thị ta thấy:
– Với \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\) (là 2 điểm cực trị của đồ thị \(f\left( x \right)\))
– Với \(f\left( x \right) = – 2\)\( \Leftrightarrow x = a\) với \(a \in \left( { – 1\,;\,0} \right)\).
Suy ra hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.
Vậy để hàm số \(h\left( x \right) = \left| {g\left( x \right)} \right|\) có đúng 3 điểm cực trị thì \(\left[ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0;\forall x \in \mathbb{R}\\g\left( x \right) < 0;\forall x \in \mathbb{R}\end{array} \right.\).
Đặt \(t = f\left( x \right)\); \(t \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\left[ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0;\forall x \in \mathbb{R}\\g\left( x \right) < 0;\forall x \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} + 4t + 3m \ge 0;\forall t \in \mathbb{R}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{t^2} + 4t + 3m < 0;\forall t \in \mathbb{R}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta = 16 – 12m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \frac{4}{3}\).
Vậy tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) thỏa mãn là \(\left\{ {2;3;4;…;100} \right\}\).
\(\left( 2 \right)\) không xảy ra.
Tổng của tất cả các phần tử là \(2 + 3 + 4 + … + 100 = 5049\).
Trả lời