(THPT Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – 2022) Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \({\log _2}{\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^{{y^2} + 8}} \le 7 – {y^2} + 3y\) ?

A. \(0\).

B. \(1\).

C. \(2\).

D. \(7\).

Lời giải:

Chọn B

Ta có: \({\log _2}{\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^{{y^2} + 8}} \le 7 – {y^2} + 3y\)\( \Leftrightarrow \left( {{y^2} + 8} \right){\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) \le 7 – {y^2} + 3y\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) \le \frac{{7 – {y^2} + 3y}}{{{y^2} + 8}}\). \(\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{{2x + 2}}{{\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)\ln 2}}\).

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\) và đồng biến trên \(\left( { – 1; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow \mathop {{\rm{min}}}\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right) = f\left( { – 1} \right) = 1\).

Xét hàm số \(g\left( y \right) = \frac{{7 – {y^2} + 3y}}{{{y^2} + 8}} \Rightarrow g’\left( y \right) = \frac{{ – 3{y^2} – 30y + 24}}{{\left( {{y^2} + 8} \right)}}\)

\(g’\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = – 5 + \sqrt {33} \approx 0,74\\y = – 5 – \sqrt {33} \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên của \(g\left( y \right)\) trên \(\mathbb{R}\):

Ta có \(g\left( { – 5 + \sqrt {33} } \right) \approx 1,01\,;\,g\left( 0 \right) = \frac{7}{8};\)\(g\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {{\rm{Max}}}\limits_{y\,\, \in \,\,\mathbb{Z}} g\left( y \right) = y\left( 1 \right) = 1\)

Do đó với \(x,y \in \mathbb{Z}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 1\\y = 1\end{array} \right.\).

Vậy chỉ có 1 cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.