(THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – 2022) Có bao nhiêu số tự nhiên \(x\) sao cho mỗi giá trị của \(x\) tồn tại số thực \(y\) thoả mãn \({\log _3}(x – y) \ge {\log _6}\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right)\) ?

A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 6.

Lời giải:

Đặt \({\log _3}(x – y) = t \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – y = {3^t}}\\{{x^2} + 2{y^2} \le {6^t}}\end{array}} \right.\)

Suy ra \({6^t} \ge {x^2} + 2{y^2} = \frac{{{x^2}}}{1} + \frac{{{{( – y)}^2}}}{{\frac{1}{2}}} \ge \frac{{{{(x – y)}^2}}}{{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{{{{2.9}^t}}}{3} \Rightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow t \le 1\) \( \Rightarrow {x^2} + 2{y^2} \le 6 \Rightarrow {x^2} \le 6 \Rightarrow x \in \{ 0,1,2\} \). Thử lại

\( + x = 0 \Rightarrow {\log _3}( – y) \ge {\log _6}\left( {2{y^2}} \right) \Rightarrow y = – 0,1\) thoả mãn (nhận).

\( + x = 1 \Rightarrow {\log _3}(1 – y) \ge {\log _6}\left( {1 + 2{y^2}} \right) \Rightarrow y = – 1\) thoả mãn (nhận).

\( + x = 2 \Rightarrow {\log _3}(2 – y) \ge {\log _6}\left( {4 + 2{y^2}} \right) \Rightarrow y = – 1\) thoả mãn (nhận).

Vậy \(x \in \{ 0,1,2\} \) là các số tự nhiên cần tìm.