(THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – 2022) Cho hàm số \(f(x) = – {x^3} + \frac{{13}}{2}{x^2} – 12x – {e^x} – 2022\). Bất phương trình ẩn m sau đây \(f\left[ {{{\log }_{0,5}}\left( {{{\log }_2}(2m + 1)} \right) – 2021} \right] < f[f(0)]\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 14.

B. 10.

C. 11.

D. 7.

Lời giải:

Ta có \(f\prime (x) = – 3{x^2} + 13x – 12 – {e^x} < 0,\forall x\) do đó:

\(\begin{array}{l}f\left[ {{{\log }_{0,5}}\left( {{{\log }_2}(2m + 1)} \right) – 2021} \right] < f[f(0)]\\ \Leftrightarrow {\log _{0,5}}\left( {{{\log }_2}(2m + 1)} \right) – 2021 > f(0) = – 2023\\ \Leftrightarrow {\log _{0,5}}\left( {{{\log }_2}(2m + 1)} \right) > – 2 \Leftrightarrow 0 < {\log _2}(2m + 1) < {(0,5)^{ – 2}} = 4\\ \Leftrightarrow 1 < 2m + 1 < 16 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{{15}}{2} \Rightarrow m \in \{ 1, \ldots ,7\} .\end{array}\)