• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

(THPT Phù Cừ – Hưng Yên – 2022) Cho số phức \(z\) và số phức \(w = (z – i)(\bar z + i) + 2z – 3i\) thỏa mãn \(\left| {w – {i^{2022}}} \right| – \left| {{i^{2023}} \cdot \bar w – 1} \right| = 0\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = |z – 3 + i{|^2} + |\bar z + 1 – 3i{|^2}\) bằng \(m + n\sqrt 5 \) với \(m,n \in \mathbb{R}\). Tính \(P = m.n\).

Đăng ngày: 17/06/2022 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Cực trị Số phức Tag với:MAX - MIN SO PHUC, so phuc vdc, TN THPT 2022

Câu hỏi:

(THPT Phù Cừ – Hưng Yên – 2022) Cho số phức \(z\) và số phức \(w = (z – i)(\bar z + i) + 2z – 3i\) thỏa mãn \(\left| {w – {i^{2022}}} \right| – \left| {{i^{2023}} \cdot \bar w – 1} \right| = 0\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = |z – 3 + i{|^2} + |\bar z + 1 – 3i{|^2}\) bằng \(m + n\sqrt 5 \) với \(m,n \in \mathbb{R}\). Tính \(P = m.n\).

A. \(P = 124\).

B. \(P = 876\).

C. \(P = 416\).

D. \(P = 104\).

Lời giải:

Gọi \(w = x + yi\) với \(x,y \in \mathbb{R}\).

Hệ thức \(\left| {w – {i^{2022}}} \right| – \left| {{i^{2023}} \cdot \bar w – 1} \right| = 0 \Leftrightarrow |w + 1| = \left| { – i \cdot \bar w + {i^2}} \right| \Leftrightarrow |w + 1| = | – i|.|\bar w – i|\)

\( \Leftrightarrow |w + 1| = |\bar w – i| \Leftrightarrow |x + yi + 1| = |x – yi – i| \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{(y + 1)}^2}} \Leftrightarrow x = y\)\(\)

\( \Rightarrow \) số phức \(w\) có phần thực bằng phần ảo.

Gọi \(z = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow w = (z – i)(\bar z + i) + 2z – 3i = |z{|^2} + i(z – \bar z) + 1 + 2z – 3i = {a^2} + {b^2} + i(2bi) + 1 + 2(a + bi) – 3i\\ = \left( {{a^2} + {b^2} + 2a – 2b + 1} \right) + (2b – 3)i\end{array}\)

Suy ra: \(\left( {{a^2} + {b^2} + 2a – 2b + 1} \right) = (2b – 3) \Leftrightarrow {(a + 1)^2} + {(b – 2)^2} = 1\) (1).

Suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn \((C)\) có tâm \(I( – 1;2)\) và bán kính \(R = 1\).

Biểu thức \(T = |z – 3 + i{|^2} + |\bar z + 1 – 3i{|^2} = |z – 3 + i{|^2} + |\overline {z + 1 + 3i} {|^2} = |z – 3 + i{|^2} + |z + 1 + 3i{|^2} = M{A^2} + M{B^2}\), với điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) và nằm trên đường tròn \((C)\) có tâm \(I( – 1;2)\) và bán kính \(R = 1\) và điểm \(A(3; – 1),B( – 1; – 3)\)

Ta có \(T = M{A^2} + M{B^2} = 2M{K^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}\) (với \(K\) là trung điểm của đoạn \(AB\))

Có \(K(1; – 2)\) và \(AB = 2\sqrt 5 \) suy ra \(T = M{A^2} + M{B^2} = 2M{K^2} + 10\)

Suy ra \({T_{\max }} \Leftrightarrow M{K_{\max }} \Leftrightarrow K\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(AB \Leftrightarrow M,I,K\) thẳng hàng và \(I\) nằm giữa \(M,K\).

Mặt khác ta có \(\overline {IM} = (a + 1;b – 2),\overline {IK} = (2; – 4) \Rightarrow IK = 2\sqrt 5 \).

Suy ra \(\overline {IM} = \frac{{ – 1}}{{2\sqrt 5 }}\overline {IK} \Rightarrow M\left( { – 1 – \frac{{\sqrt 5 }}{5};2 + \frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right) \Rightarrow a = – 1 – \frac{{\sqrt 5 }}{5};b = 2 + \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy \({T_{\max }} = 2{(2\sqrt 5 + 1)^2} + 10 = 52 + 8\sqrt 5 \Rightarrow m = 52;n = 8 \Rightarrow P = m.n = 416\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức

Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Cực trị Số phức Tag với:MAX - MIN SO PHUC, so phuc vdc, TN THPT 2022

Bài liên quan:

  1. (THPT Kim Liên – Hà Nội – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { – 1;2;3} \right)\) và \(B\left( {3;2;5} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MN = 2023\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\).

  2. (THPT Hương Sơn – Hà Tĩnh – 2022) Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\;x + y – 2z – 2 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\;\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 2}}{1} \cdot \) Đường thẳng \(\Delta ‘\) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(\Delta \) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình:

  3. (THPT Kim Liên – Hà Nội – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z + 5 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; – 2} \right)\). Biết \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) có chu vi \(8\pi \). Tìm bán kính của mặt cầu \(\left( T \right)\) chứa đường tròn \(\left( C \right)\) và \(\left( T \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\).

  4. (THPT Hồ Nghinh – Quảng Nam – 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba mặt phẳng \((P):x + y + z + 5 = 0\); \((Q):x + y + z + 1 = 0\) và \((R):x + y + z + 2 = 0\). Úng với mỗi cặp điểm \(A,B\) lần lượt thuộc hai mặt phẳng \((P),(Q)\) thì mặt cầu đường kinh \(AB\) luôn cắt mặt phẳng \((R)\) theo một đường tròn. Tìm bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó.

  5. (THPT Kinh Môn – Hải Dương – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \(I\left( {2;1;1} \right)\) có bán kính bằng \(4\) và mặt cầu

    \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \(J\left( {2;1;5} \right)\) có bán kính bằng 2. Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\). Đặt \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\). Giá trị \(M + m\) bằng

  6. (Sở Hà Tĩnh 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 2)^2} = 16;\left( {{S_2}} \right):{(x – 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 1\) và điểm \(A\left( {\frac{4}{3};\frac{7}{3}; – \frac{{14}}{3}} \right)\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) và \(I\) là tâm của \(\left( {{S_1}} \right)\). Xét điểm \(M(a;b;c)\) di động trên \((P)\) sao cho \(IM\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\), khi \(AM\) ngắn nhất thì \(a + b + c\) bằng

  7. (Cụm Trường Nghệ An – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0;3} \right)\) và \(B\left( {2; – 3; – 5} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\) và \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 14 = 0\). Gọi \(M,\,\,N\) là hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(MN = 1\). Biết giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) có dạng \(\sqrt {a – b\sqrt c } \) (\(a,b,c \in \mathbb{N}\) và \(c\) là số nguyên tố). Tính \(a + b + c\)

  8. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 5\) và điểm \(M\left( {1;4; – 2} \right)\). Xét điểm \(N\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi đó điểm \(N\) luôn nằm trên mặt phẳng có phương trình là:

  9. (THPT Kim Liên – Hà Nội – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{(x + 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z – 2)^2} = 25\) và hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) lần lượt có phương trình \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + mt}\\{y = – 1}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = – 1}\\{z = 1 – mt}\end{array}} \right.\). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt mặt cầu \((S)\) tại 4 điểm phân biệt sao cho bốn điểm đó tạo thành tứ giác có diện tích lớn nhất

  10. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {a;b;c} \right)\) với \(a;b;c\) là các số thực dương thỏa mãn \(5\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = 9\left( {ab + 2bc + ca} \right)\) và \(Q = \frac{a}{{{b^2} + {c^2}}} – \frac{1}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}\) có giá trị lớn nhất. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên các tia \(Ox,Oy,Oz\). Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là

  11. (THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN-2022) Trong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x – 2y + 2z – 11 = 0\) và điểm \(I\left( { – 3;3;1} \right).\)Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm là điểm \(I\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo một đường tròn có chu vi bằng \(8\pi .\) Phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) là

  12. (THPT Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1;2;3),B\left( {0;1;0} \right),C(1;0; – 2)\) và mặt phẳng \((P):x + y + z + 2 = 0\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) nằm trên \((P)\) sao cho biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2} + 3M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức \(T = a – b + 9c\) bằng

  13. (THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN-2022) Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\) và hai điểm \(A\left( {6;0;0} \right),B\left( {0;0; – 6} \right)\). Khi \(M\) thay đổi trên đường thẳng \(d\), hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = MA + MB\)

  14. (THPT Bùi Thị Xuân – Huế – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 2 – 3t}\end{array}} \right.\). Ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho\(MA,MB,MC\) là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng \((ABC)\) đi qua điểm \(D(1;1;2)\). Tổng \(T = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2\) bằng

  15. (Chuyên Vinh – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x + 12y + 6z + 24 = 0\). Hai điểm \(M\), \(N\) thuộc \((S)\) sao cho \(MN = 8\) và \(O{M^2} – O{N^2} = – 112\). Khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(MN\) bằng

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.