(THPT Phù Cừ – Hưng Yên – 2022) Cho số phức \(z\) và số phức \(w = (z – i)(\bar z + i) + 2z – 3i\) thỏa mãn \(\left| {w – {i^{2022}}} \right| – \left| {{i^{2023}} \cdot \bar w – 1} \right| = 0\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = |z – 3 + i{|^2} + |\bar z + 1 – 3i{|^2}\) bằng \(m + n\sqrt 5 \) với \(m,n \in \mathbb{R}\). Tính \(P = m.n\).
A. \(P = 124\).
B. \(P = 876\).
C. \(P = 416\).
D. \(P = 104\).
Lời giải:
Gọi \(w = x + yi\) với \(x,y \in \mathbb{R}\).
Hệ thức \(\left| {w – {i^{2022}}} \right| – \left| {{i^{2023}} \cdot \bar w – 1} \right| = 0 \Leftrightarrow |w + 1| = \left| { – i \cdot \bar w + {i^2}} \right| \Leftrightarrow |w + 1| = | – i|.|\bar w – i|\)
\( \Leftrightarrow |w + 1| = |\bar w – i| \Leftrightarrow |x + yi + 1| = |x – yi – i| \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{(y + 1)}^2}} \Leftrightarrow x = y\)\(\)
\( \Rightarrow \) số phức \(w\) có phần thực bằng phần ảo.
Gọi \(z = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow w = (z – i)(\bar z + i) + 2z – 3i = |z{|^2} + i(z – \bar z) + 1 + 2z – 3i = {a^2} + {b^2} + i(2bi) + 1 + 2(a + bi) – 3i\\ = \left( {{a^2} + {b^2} + 2a – 2b + 1} \right) + (2b – 3)i\end{array}\)
Suy ra: \(\left( {{a^2} + {b^2} + 2a – 2b + 1} \right) = (2b – 3) \Leftrightarrow {(a + 1)^2} + {(b – 2)^2} = 1\) (1).
Suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn \((C)\) có tâm \(I( – 1;2)\) và bán kính \(R = 1\).
Biểu thức \(T = |z – 3 + i{|^2} + |\bar z + 1 – 3i{|^2} = |z – 3 + i{|^2} + |\overline {z + 1 + 3i} {|^2} = |z – 3 + i{|^2} + |z + 1 + 3i{|^2} = M{A^2} + M{B^2}\), với điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) và nằm trên đường tròn \((C)\) có tâm \(I( – 1;2)\) và bán kính \(R = 1\) và điểm \(A(3; – 1),B( – 1; – 3)\)
Ta có \(T = M{A^2} + M{B^2} = 2M{K^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}\) (với \(K\) là trung điểm của đoạn \(AB\))
Có \(K(1; – 2)\) và \(AB = 2\sqrt 5 \) suy ra \(T = M{A^2} + M{B^2} = 2M{K^2} + 10\)
Suy ra \({T_{\max }} \Leftrightarrow M{K_{\max }} \Leftrightarrow K\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(AB \Leftrightarrow M,I,K\) thẳng hàng và \(I\) nằm giữa \(M,K\).
Mặt khác ta có \(\overline {IM} = (a + 1;b – 2),\overline {IK} = (2; – 4) \Rightarrow IK = 2\sqrt 5 \).
Suy ra \(\overline {IM} = \frac{{ – 1}}{{2\sqrt 5 }}\overline {IK} \Rightarrow M\left( { – 1 – \frac{{\sqrt 5 }}{5};2 + \frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right) \Rightarrow a = – 1 – \frac{{\sqrt 5 }}{5};b = 2 + \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Vậy \({T_{\max }} = 2{(2\sqrt 5 + 1)^2} + 10 = 52 + 8\sqrt 5 \Rightarrow m = 52;n = 8 \Rightarrow P = m.n = 416\).
Trả lời