(THPT Phù Cừ – Hưng Yên – 2022) Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(\frac{{{2^{{x^2} + {y^2} – 1}}}}{{{x^2} + {y^2} – 2x + 2}} \le {4^{x – 1}}\) và \(2x – y \ge 0\). Giả trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3x + 2y + 1\) lần lượt là \(M\) và \(m\). Tính \(M + m\).

A. 6.

B. 10.

C. 12.

D. 8.

Lời giải:

Ta có \(\frac{{{2^{{x^2} + {y^2} – 1}}}}{{{x^2} + {y^2} – 2x + 2}} \le {4^{x – 1}} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2} – 2x + 1}} \le {x^2} + {y^2} – 2x + 2\)

Đặt \(t = {x^2} + {y^2} – 2x + 1,(t \ge 0)\) bất phương trình trở thành \({2^t} \le t + 1 \Leftrightarrow {2^t} – t – 1 \le 0\)

Xét hàm số \(f(t) = {2^t} – t – 1\) với \(t \ge 0\).

Có \(f\prime (t) = {2^t}\ln 2 – 1 \Rightarrow f\prime (t) = 0 \Leftrightarrow t = {\log _2}\left( {\frac{1}{{\ln 2}}} \right)\).

Mặt khác \(f(0) = f(1) = 0\).

Ta có bảng biến thiên

Do đó (1) \( \Leftrightarrow f(t) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le t \le 1 \Rightarrow 0 \le {x^2} + {y^2} – 2x + 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le {(x – 1)^2} + {y^2} \le 1\).

Suy ra hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x – 1)}^2} + {y^2} \le 1}\\{2x – y \ge 0}\end{array}} \right.\) (1).

Tập hợp các điểm thoả mãn (1) thuộc miền mầu sẫm giới hạn bởi hình tròn tâm \(I(1;0)\) bán kinh \(R = 1\) và nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:2x – y = 0\) chứa điểm \(I(1;0)\).

Ta có \(P = 3x + 2y + 1 \Leftrightarrow 3x + 2y + 1 – P = 0\) là đường thẳng \(\Delta \) song song với đường thẳng \({d_1}:3x + 2y = 0\).

Từ đồ thị suy ra \(P\) đặt max và min khi \(\Delta \) tiếp xúc với miền nghiệm của hệ (1)

Suy ra \(d(I,\Delta ) = 1 \Leftrightarrow \frac{{|4 – P|}}{{\sqrt {13} }} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{P = 4 + \sqrt {13} }\\{P = 4 – \sqrt {13} }\end{array}} \right.\).

Vậy \(M = {P_{\max }} = 4 + \sqrt {13} ;m = {P_{\min }} = 4 – \sqrt {13} \Rightarrow M + m = 8\).