(THPT Nho Quan A – Ninh Bình – 2022) Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị của hàm số \(y = f(5 – 2x)\) như hình vẽ bên dưới:

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) thuộc khoảng \(( – 9;9)\) thỏa mãn \(2m \in \mathbb{Z}\) và hàm số \(y = \left| {2f\left( {4{x^3} + 1} \right) + m – \frac{1}{2}} \right|\) có 5 điểm cực trị ?

A. 26.

B. 25.

C. 27.

D. 24.

Lời giải:

Đặt \(t = 5 – 2x \Rightarrow x = \frac{{5 – t}}{2}\). Bảng biến thiên của hàm số \(f(t)\):

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \(y = f(t)\) có 3 điểm cực trị.

Đặt: \(g(x) = f\left( {4{x^3} + 1} \right) \Rightarrow g\prime (x) = 12{x^2}f\prime \left( {4{x^3} + 1} \right)\)

\(g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\f\prime \left( {4{x^3} + 1} \right) = 0\left( * \right)\end{array} \right.\) (có 3 nghiệm đơn)

\( \Rightarrow \) hàm số \(y = f\left( {4{x^3} + 1} \right)\) có 3 điểm cực trị.

Hàm số \(y = \left| {2f\left( {4{x^3} + 1} \right) + m – \frac{1}{2}} \right|\) có 5 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) Hàm số \(\frac{y}{2} = \left| {f\left( {4{x^3} + 1} \right) + \frac{m}{2} – \frac{1}{4}} \right|\) có 5 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(f\left( {4{x^3} + 1} \right) + \frac{m}{2} – \frac{1}{4} = 0\) (1) có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ.

Đặt \(t = 4{x^3} + 1 \Rightarrow t\prime = 12{x^2}\). Suy ra \(t\) là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Ứng với mỗi giá trị của \(t\) ta có một giá trị của \(x\). Số nghiệm của phương trình bằng số nghiệm của phương trình \(f(t) + \frac{m}{2} – \frac{1}{4} = 0.\)

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình \(f(t) + \frac{m}{2} – \frac{1}{4} = 0\) có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ khi và chỉ khi \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{4} – \frac{m}{2} \ge \frac{9}{4}}\\{ – 4 < \frac{1}{4} – \frac{m}{2} \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le – 4}\\{\frac{1}{2} \le m < \frac{{17}}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m \le – 8}\\{1 \le 2m < 17}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Kết hợp yêu cầu \(m\) thuộc khoảng \(( – 9;9)\) và \(2m \in \mathbb{Z}\) ta có 26 giá trị thực của \(m\) thỏa mãn đề bài.