(THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN-2022) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 10;10} \right]\)để bất phương trình

\(\log _2^2x – (m + 1){\log _2}x – 2m + 3 \ge 0\)

nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {1;32} \right]\)

A. 11.

B. 12.

C. 13.

D. 14.

Lời giải:

Chọn B

Đặt \({\log _2}x = t;x \in \left[ {1;32} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;5} \right]\). Khi đó

\(\begin{array}{l}\log _2^2x – (m + 1){\log _2}x – 2m + 3 \ge 0,\forall x \in \left[ {1;32} \right] \Leftrightarrow {t^2} – (m + 1)t – 2m + 3 \ge 0,\forall t \in \left[ {0;5} \right]\\ \Leftrightarrow {t^2} – t + 3 \ge (t + 2)m,\forall t \in \left[ {0;5} \right] \Leftrightarrow f(t) = \frac{{{t^2} – t + 3}}{{t + 2}} \ge m,\forall t \in \left[ {0;5} \right]\end{array}\)

Khảo sát hàm số ta có \(f’\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 4t – 5}}{{{{(t + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t \in \left\{ { – 5;1} \right\}\).

Trên \(\left[ {0;5} \right]:\,\,\,f\left( 0 \right) = \frac{3}{2};f\left( 1 \right) = 1;f\left( 5 \right) = \frac{{23}}{7} \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( t \right) = \frac{3}{2} \Rightarrow m \le \frac{3}{2}\)là điều kiện cần tìm.

Kết hợp giá trị nguyên \(m \in \left[ { – 10;10} \right]\)ta được 12 giá trị nguyên.