(THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN-2022) Cho \(x,y,z \in \left[ {0;2} \right]\) và thỏa mãn \(x + 2y + z = 6\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {3^{2x – {x^2}}} + {5^{2y – {y^2}}} + {3^z} + 2{x^2} + 4{y^2}\)

A. \(\max P = 25\).

B.\(\max P = 27\).

C.\(\max P = 26\).

D.\(\max P = 30\).

Lời giải:

Chọn B

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} – 2t\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Ta có \(f’\left( t \right) = {3^t}.\ln 3 – 2\); \(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = {\log _3}\left( {\frac{2}{{\ln 3}}} \right) = a \in \left[ {0;1} \right]\).

Suy ra \(f\left( t \right) \le 1\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)\(\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(g\left( t \right) = {5^t} – 4t\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Ta có \(g’\left( t \right) = {5^t}.\ln 5 – 4\); \(g’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = {\log _5}\left( {\frac{4}{{\ln 5}}} \right) = b \in \left[ {0;1} \right]\).

Suy ra \(g\left( t \right) \le 1\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)\(\left( 2 \right)\).

Xét hàm số \(h\left( t \right) = {3^t} – 4t\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).

Ta có \(h’\left( t \right) = {3^t}.\ln 3 – 4;h’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = {\log _3}\left( {\frac{4}{{\ln 3}}} \right) = c \in \left[ {0;2} \right]\).

Suy ra \(h\left( t \right) \le 1\,\,\forall t \in \left[ {0;2} \right]\)\(\left( 3 \right)\)

Do \(x,y,z \in \left[ {0;2} \right]\)\( \Rightarrow 2x – {x^2};2y – {y^2} \in \left[ {0;1} \right]\); \(z \in \left[ {0;2} \right]\). Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\) suy ra

\({3^{2x – {x^2}}} – 2\left( {2x – {x^2}} \right) + {5^{2y – {y^2}}} – 4\left( {2y – {y^2}} \right) + {3^z} – 4z \le 3\)\( \Leftrightarrow {3^{2x – {x^2}}} + {5^{2y – {y^2}}} + {3^z} + 2{x^2} + 4{y^2} \le 3 + 4\left( {x + 2y + z} \right)\)\( \Leftrightarrow P \le 27\).

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 2;z = 0\\x = z = 2;y = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(\max P = 27\).