(THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội -2022) Gọi \(S\) là tập các số nguyên \(m \in [ – 2022;2022]\) để phương trình \(\log _2^2x – {\log _{\sqrt 2 }}x = m – \sqrt {m + {{\log }_2}x} \) có đúng ba nghiệm phân biệt. Số phần tử của \(S\) là

A. 1.

B. 2.

C. 2021.

D. 2022.

Lời giải:

Đặt \(t = \sqrt {m + {{\log }_2}x} ,(t \ge 0) \Rightarrow m = {t^2} – {\log _2}x\) phương trình trở thành:

\(\log _2^2x – 2{\log _2}x = \left( {{t^2} – {{\log }_2}x} \right) – t \Leftrightarrow \log _2^2x – {\log _2}x – {t^2} + t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x = t}\\{{{\log }_2}x = 1 – t}\end{array}} \right.\)

(bấm máy phương trình bậc hai ần là \({\log _2}x\) và tham số \(\left. {t = 1000} \right)\).

Khi đó \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = {t^2} – t}\\{m = {t^2} + t – 1}\end{array}(*)} \right.\).

ycbt \( \Leftrightarrow (*)\) có 3 nghiệm phân biệt trên \([0; + \infty ) \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị của hai hàm số \(y = {t^2} – t;y = {t^2} + t – 1\) tại ba điểm phân biệt trên \([0; + \infty ) \Leftrightarrow – \frac{1}{4} < m \le 0.\)