(THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2022) Có bao nhiêu cặp số nguyên \((a;b)\), trong đó \(a,b \in [1;2022]\) thỏa mãn \({\left( {\frac{{2a}}{{a + {2^b}}}} \right)^{{2^b}}} \ge {\left( {\frac{{a + {2^b}}}{{{2^{b + 1}}}}} \right)^a}\) ?

A. 5.

B. \(9.\)

C. 10.

D. 11.

Lời giải:

Đặt \(x = {2^b},(x > 0) \Rightarrow {\left( {\frac{{2a}}{{a + x}}} \right)^x} \ge {\left( {\frac{{a + x}}{{2x}}} \right)^a} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{2a}}{{a + x}}} \right)^x}{\left( {\frac{{2x}}{{a + x}}} \right)^a} \ge 1\).

+ Nếu \(x = a \Rightarrow VT = 1\) (thoả mãn).

+ Nếu \(x > a \Rightarrow VT < {\left( {\frac{{2a}}{{a + x}}} \right)^x}{\left( {\frac{{2x}}{{a + x}}} \right)^x} = {\left( {\frac{{4ax}}{{{{(a + x)}^2}}}} \right)^x} \le {1^x} = 1\) (không thoả mãn).

\( + \) Nếu \(x < a \Rightarrow VT < {\left( {\frac{{2a}}{{a + x}}} \right)^a}{\left( {\frac{{2x}}{{a + x}}} \right)^a} = {\left( {\frac{{4ax}}{{{{(a + x)}^2}}}} \right)^a} \le {1^a} = 1\) (không thoả mãn).

Vậy \(x = a \Leftrightarrow a = {2^b} \in [1;2022] \Rightarrow b \le {\log _2}2022 \approx 10,98 \Rightarrow b \in \{ 1, \ldots ,10\} \). Với mỗi số nguyên \(b\) tìm được ta có tương ứng một số nguyên \(a = {2^b}\) thoả mãn tức có 10 cặp.