(THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh – 2022) Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho tồn tại số thực \(x \in \left( {1;8} \right)\) thỏa mãn:

\(\left( {x – 1} \right)\left( {2{e^x} – {y^2}} \right) = y\left( {{e^x} – {x^2}} \right)\)?

A. \(11\).

B. \(14\).

C. \(12\).

D. \(13\).

Lời giải:

Chọn D

Xét \(f\left( x \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {2{e^x} – {y^2}} \right) – y\left( {{e^x} – {x^2}} \right)\) trên \(\left( {1;8} \right)\) với \(y\) là tham số.

Ta có:

\(f’\left( x \right) = 2x{e^x} – y{e^x} – {y^2} + 2yx = \left( {{e^x} + y} \right)\left( {2x – y} \right) = 0 \Rightarrow x = \frac{y}{2}\)

Ta thấy \(f\left( 1 \right) = – y\left( {e – 1} \right) < 0\) do \(y\) nguyên dương ; \(f\left( 8 \right) = 7\left( {2{e^8} – {y^2}} \right) – y\left( {{e^8} – 64} \right) = – 7{y^2} – \left( {{e^8} – 64} \right)y + 14{e^8}\)

TH1: Khi \(\frac{y}{2} \le 1 \Leftrightarrow y \le 2 \Rightarrow f’\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left( {1;8} \right)\). Lập bảng biến thiên cho \(f\left( x \right)\), từ yêu cầu bài toán \( \Rightarrow f\left( 8 \right) > 0 \Rightarrow y < 13,85 \Rightarrow y \in \left\{ {1;2} \right\}\)

TH2: Khi \(\frac{y}{2} \ge 8 \Leftrightarrow y \ge 16 \Rightarrow f’\left( x \right) < 0\,,\,\,\forall x \in \left( {1;8} \right) \Rightarrow f\left( 8 \right) < f\left( 1 \right) < 0\) suy ra phương trình vô nghiệm trên \(\left( {1;8} \right)\)

TH3: Khi \(1 < \frac{y}{2} < 8 \Leftrightarrow 2 < y < 16 \Rightarrow {x_{CT}} = \frac{y}{2}\). Lập bảng biến thiên cho \(f\left( x \right)\), từ yêu cầu bài toán \( \Rightarrow f\left( 8 \right) > 0 \Rightarrow y < 13,85 \Rightarrow y \in \left\{ {3;4;5;…13} \right\}\)

Như vậy có tất cả 13 giá trị \(y\) thỏa mãn.