(THPT Lê Thánh Tông – HCM-2022) Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\left( {{3^x} + {3^{6 – x}} – 246} \right)\sqrt {5 – \ln \left( {x + 3} \right)} \ge 0\) là

A. 144.

B. 145.

C. 146.

D. 147.

Lời giải:

Chọn B

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 > 0\\5 – \ln \left( {x + 3} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 3\\\ln \left( {x + 3} \right) \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 3\\x + 3 \le {e^5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 3\\x \le {e^5} – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow – 3 < x \le {e^5} – 3\).

Ta có: \(\left( {{3^x} + {3^{6 – x}} – 246} \right)\sqrt {5 – \ln \left( {x + 3} \right)} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 – \ln \left( {x + 3} \right) = 0\,\,\left( 1 \right)\\{3^x} + {3^{6 – x}} – 246 \ge 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \ln \left( {x + 3} \right) = 5 \Leftrightarrow x + 3 = {e^5} \Leftrightarrow x = {e^5} – 3\) (nhận).

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {3^x} + \frac{{729}}{{{3^x}}} – 246 \ge 0 \Leftrightarrow {3^{2x}} – {246.3^x} + 729 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} \le 3\\{3^x} \ge {3^5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 5\end{array} \right.\).

So với điều kiện, ta có các giá trị nguyên thoả mãn là \(x \in \left\{ { – 2\,; – 1\,;0\,;1} \right\} \cup \left\{ {5\,;6\,;…\,;145} \right\}\).

Vậy bất phương trình đã cho có 145 nghiệm nguyên.