(THPT Lê Thánh Tông – HCM-2022) Có tất cả bao nhiêu số \(b\) nguyên dương sao cho tồn tại đúng hai số thực \(a\) thỏa mãn đẳng thức \(b{.2^{{a^2} – 6a – 1}} + {b^2}{.2^{2{a^2} – 12a – 1}} – 3 = 7{\log _2}\left( {{a^2} – 6a + {{\log }_2}b} \right)\)?

A. \(1024\).

B. \(1023\).

C. \(2047\).

D. \(2048\).

Lời giải:

Chọn B

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = {a^2} – 6a\\y = {\log _2}b \ge 0 \Rightarrow b = {2^y}\\x + y > 0\end{array} \right.\,\).

Ta được \({2^y}{.2^{x – 1}} + {2^{2y}}{.2^{2x – 1}} – 3 = 7{\log _2}\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow {2^{x + y}} + {2^{2\left( {x + y} \right)}} – 14{\log _2}\left( {x + y} \right) – 6 = 0\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^{2t}} + {2^t} – 14{\log _2}t – 6\,\,\,,\,\,t > 0\).

\(f’\left( t \right) = {4^t}\ln 4 + {2^t}\ln 2 – \frac{{14}}{{t.\ln 2}} \Rightarrow f”\left( t \right) = {4^t}{\ln ^2}4 + {2^t}{\ln ^2}2 + \frac{{14}}{{{t^2}\ln 2}} > 0\,\,\forall t > 0\)

\( \Rightarrow f\left( t \right) = 0\) có nhiều nhất hai nghiệm dương. Ta thấy \(f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) = 0\).

Do vậy, ta được \(f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = 1\\x + y = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}b = 1 + 6a – {a^2}\\{\log _2}b = 2 + 6a – {a^2}\end{array} \right.\).

Từ đồ thị, ta có: \(10 < {\log _2}b < 11 \Leftrightarrow {2^{10}} < b < {2^{11}}\)

Vậy có \(1023\) số nguyên dương \(b\) thỏa mãn.