(THPT Kinh Môn – Hải Dương – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ \( – 3\,;\, – 2\,;\,a\,;\,b\,;\,3\,;\,c\,;\,5\) với \( – \frac{4}{3} < a < – 1\,;\,1 < b < \frac{4}{3}\,;\,4 < c < 5\) có dạng như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = f\left( {2\left| x \right| + m – 2022} \right)\) có 5 điểm cực trị?
A. \(4\).
B. \(2\).
C. \(3\).
D. Vô số.
Lời giải:
Chọn C
Hàm \(y = f\left( {2\left| x \right| + m – 2022} \right)\) là hàm chẵn trên \(\mathbb{R}\) nên số điểm cực trị của hàm đã cho bằng \(2.n + 1\), trong đó \(n\) là số điểm cực trị trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) của hàm \(y = f\left( {2x + m – 2022} \right)\)
Xét hàm \(y = f\left( {2x + m – 2022} \right)\).
\(y’ = 2f’\left( {2x + m – 2022} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + m – 2022 = – 3\\2x + m – 2022 = – 2\\2x + m – 2022 = a\\2x + m – 2022 = b\\2x + m – 2022 = 3\\2x + m – 2022 = c\\2x + m – 2022 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2019 – m}}{2} = {x_1}\\x = \frac{{2020 – m}}{2} = {x_2}\\x = \frac{{2022 + a – m}}{2} = {x_3}\\x = \frac{{2022 + b – m}}{2} = {x_4}\\x = \frac{{2025 – m}}{2} = {x_5}\\x = \frac{{2022 + c – m}}{2} = {x_6}\\x = \frac{{2027 – m}}{2} = {x_7}\end{array} \right.\)
Vì \(x = 3\) là nghiệm bội chẵn của phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) nên \(x = {x_5}\) cũng là nghiệm bội chẵn của phương trình \(f’\left( {2x + m – 2022} \right) = 0\).
Hàm \(y = f\left( {2x + m – 2022} \right)\) có 6 điểm cực trị \({x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4} < {x_6} < {x_7}\).
Hàm \(y = f\left( {2\left| x \right| + m – 2022} \right)\) có 5 điểm cực trị \( \Leftrightarrow {x_4} \le 0 < {x_6} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2022 + b – m}}{2} \le 0\\\frac{{2022 + c – m}}{2} > 0\end{array} \right.\)
Vì \(1 < b < \frac{4}{3}\,,\,4 < c < 5\,,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow 2024 \le m \le 2026 \Rightarrow m \in \left\{ {2024;2025;2026} \right\}\).
Trả lời