(THPT Kinh Môn – Hải Dương – 2022) Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn phương trình \(3 + \ln \frac{{x + y + 1}}{{3xy}} = 9xy – 3x – 3y.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = xy\)

A. \(1\).

B. \(\frac{1}{9}\).

C. \(\frac{1}{3}\).

D. \(9\).

Lời giải:

Chọn A

Ta có phương trình \(3 + \ln \frac{{x + y + 1}}{{3xy}} = 9xy – 3x – 3y\)

\( \Leftrightarrow \ln \left( {x + y + 1} \right) + 3\left( {x + y + 1} \right) = \ln \left( {3xy} \right) + 9xy\,\,\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \ln t + 3t,{\rm{ }}t \in \left( {0; + \infty } \right)\).

\(f’\left( t \right) = \frac{1}{t} + 3 > 0{\rm{ }}\forall {\rm{ }}t \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số tăng.

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {x + y + 1} \right) = f\left( {3xy} \right) \Leftrightarrow x + y + 1 = 3xy\).

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có

\(3xy = x + y + 1 \ge 2\sqrt {xy} + 1\)\( \Leftrightarrow 3xy – 2\sqrt {xy} – 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {xy} \ge 1\\\sqrt {xy} \le \frac{{ – 1}}{3}\end{array} \right..\)

So sánh với điều kiện\(x,y\) dương ta được \(\sqrt {xy} \ge 1 \Leftrightarrow xy \ge 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \(1\).