Câu hỏi:
(THPT Kim Liên – Hà Nội – 2022) Cho bất phương trình \({\log _5}\left( {{x^2} – 4x + 4 + m} \right) – 1 < {\log _5}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)\) với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {1\,;\,3} \right)\)?
A. \(30\).
B. \(28\).
C. \(29\).
D. Vô số.
Lời giải:
Chọn C
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 3 > 0\\{x^2} – 4x + 4 + m > 0\end{array} \right.\)\(\forall x \in \left( {1\,;\,3} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 4 + m > 0\), \(\forall x \in \left( {1\,;\,3} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 4 > – m\), \(\forall x \in \left( {1\,;\,3} \right)\)\( \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {1\,;\,3} \right)} {\left( {x – 2} \right)^2} > – m \Leftrightarrow 0 > – m \Leftrightarrow m > 0\).
Ta có \({\log _5}\left( {{x^2} – 4x + 4 + m} \right) – 1 < {\log _5}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)\), \(\forall x \in \left( {1\,;\,3} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} – 4x + 4 + m} \right) < {\log _5}\left( {5{x^2} + 10x + 15} \right)\,,\,\,\forall x \in \left( {1\,;\,3} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 4 + m < 5{x^2} + 10x + 15\,\,,\,\,\forall x \in \left( {1\,;\,3} \right) \Leftrightarrow m < 4{x^2} + 14x + 11\,,\,\,\forall x \in \left( {1\,;\,3} \right)\)
\( \Leftrightarrow m \le {4.1^2} + 14.1 + 11 = 29 \Rightarrow m \in \left( {0\,;\,29} \right]\).
Vậy có \(29\) giá trị.
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm hàm số mũ – lôgarit
Trả lời