(THPT Hương Sơn – Hà Tĩnh – 2022) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), điểm \(M\left( {x\,;\,y} \right)\) biểu diễn nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {9x + 18} \right) + x = y + {3^y}\). Có bao nhiêu điểm \(M\) có tọa độ nguyên thuộc hình tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 7\)?

A. \(7\).

B. \(2\).

C. \(3\).

D. \(49\).

Lời giải:

Chọn B

Điều kiện: \(x > – 2\)

Ta có \({\log _3}\left( {9x + 18} \right) + x = y + {3^y} \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) + x + 2 = y + {3^y}\)

Đặt \(t = {\log _3}\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow x + 2 = {3^t}\) ta được \({3^t} + t = {3^y} + y\)

Xét hàm số \(f\left( u \right) = {3^u} + u\) thì \(f\left( u \right)\) là hàm đồng biến, vậy \(y = t = {\log _3}\left( {x + 2} \right)\)

Do \(M\) có tọa độ nguyên và nằm trên hình tròn tâm \(O\) bán kính bằng \(R = 7\) nên: \({x^2} + {y^2} \le 49\)

\(M\) có tọa độ nguyên nên \(\left\{ \begin{array}{l} – 2 < x \le 7\\x \in \mathbb{Z}\\{\log _3}\left( {x + 2} \right) \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

TH1: \(x = – 1 \Rightarrow y = 0\) ( thỏa mãn)

TH2: \(x = 1 \Rightarrow y = 1\)( thỏa mãn)

TH3: \(x = 7 \Rightarrow y = 2\)( loại)

Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu là \(\left( { – 1;0} \right),\left( {1;1} \right)\)