Câu hỏi:
(THPT Hồ Nghinh – Quảng Nam – 2022) Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + 2y + 2{y^2}}}(9x + 10y – 20) = 1\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(S = \frac{y}{x}\). Tính \(M + m\).
A. \(M + m = \frac{5}{3}\).
B. \(M + m = \sqrt 5 + \sqrt 2 \)
C. \(M + m = 2\sqrt 7 \).
D. \(M + m = \frac{7}{2}\).
Lời giải:
Chọn A
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9x + 10y – 20 > 0}\\{{x^2} + xy + 2{y^2} \ne 1}\end{array}} \right.\).Có \(S = \frac{y}{x} \Leftrightarrow y = Sx\).
Giả thiết \({\log _{{x^2} + 2y + 2{y^2}}}(9x + 10y – 20) = 1 \Leftrightarrow {x^2} + xy + 2{y^2} = 9x + 10y – 20\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + S{x^2} + 2{S^2}{x^2} = 9x + 10Sx – 20 \Leftrightarrow \left( {2{S^2} + S + 1} \right){x^2} – (9 + 10S)x + 20 = 0{\rm{ (1)}}{\rm{. }}\)\(\)
Để phương trình (1) có nghiệm thì
\(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {(9 + 10S)^2} – 80\left( {2{S^2} + S + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow – 60{S^2} + 100S + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{25 – 8\sqrt {10} }}{{30}} \le S \le \frac{{25 + 8\sqrt {10} }}{{30}}.\)
Suy ra \(M = {S_1} = \frac{{25 + 8\sqrt {10} }}{{30}}\) dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{9 + 10{S_1}}}{{2\left( {2S_1^2 + {S_1} + 1} \right)}} > 0}\\{y = {S_1}x > 0}\end{array}} \right.\) \(m = {S_2} = \frac{{25 – 8\sqrt {10} }}{{30}}\) dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{9 + 10{S_2}}}{{2\left( {2{S_2}^2 + {S_2} + 1} \right)}} > 0}\\{y = {S_2}x > 0.}\end{array}} \right.\)
Vậy \(M + m = \frac{5}{3}\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm hàm số mũ – lôgarit
Trả lời