Câu hỏi:
(THPT Đô Lương – Nghệ An – 2022) Hàm số \(f(x) = {10^x} + x\) và \(g(x) = {x^3} – m{x^2} + \left( {{m^2} + 1} \right)x – 2\). Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = g(x + f(x))\) trên đoạn \([0;1]\). Khi \(M\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của \(m\) bằng?
A. \(\frac{{21}}{2}\).
B. 6.
C. 21.
D. 5.
Lời giải:
Ta có: \(f\prime (x) = {10^x}\ln 10 + 1 > 0,\forall x\)
\(\begin{array}{l}g\prime (x) = 3{x^2} – 2mx + \left( {{m^2} + 1} \right) > 0,\forall x{\rm{ do }}\Delta \prime = – 2{m^2} – 3 < 0.\\y = g(x + f(x)) = g\left( {{{10}^x} + 2x} \right).\\y\prime = \left[ {g\left( {{{10}^x} + 2x} \right)} \right]\prime = \left( {{{10}^x}\ln 10 + 2} \right) \cdot g\prime \left( {{{10}^x} + 2x} \right) > 0,\forall x \in [0;1].\end{array}\)
Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) khi đó
\(\begin{array}{l}M = \mathop {{\mathop{\rm Maxy}\nolimits} }\limits_{[0,1]} = y(1) = g(12) = {12^3} – m \cdot {12^2} + \left( {{m^2} + 1} \right) \cdot 12 – 2\\ = 12{m^2} – 144m + 1738 = 12 \cdot {(m – 6)^2} + 1306 \ge 1306\end{array}\)
\(M\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(m = 6\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm VDC Hàm số
Trả lời