(THPT Bùi Thị Xuân – Huế – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) là hàm số bậc ba và có đồ thị \(y = f(2 – x)\) như hình vẽ.

Hỏi phương trình \(\left| {f\left( {\left| {{x^2} – 2x} \right|} \right)} \right| = 1\) có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 8.

B. 7.

C. 9.

D. 6.

Lời giải:

\(f(2 – x) = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 – x = a(0 < a < 1)}\\{2 – x = 2}\\{2 – x = c(c > 3)}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 – a = {a_1}\left( {1 < {a_1} < 2} \right)}\\{x = 0}\\{x = 2 – c = {c_1}\left( {{c_1} < – 1} \right)}\end{array}} \right.} \right.\)

\(f(2 – x) = – 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 – x = 1}\\{2 – x = d(d > c > 3)}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 2 – c = {d_1}\left( {{d_1} < {c_1} < – 1} \right)}\end{array}} \right.} \right.\)

\(\left| {f\left( {\left| {{x^2} – 2x} \right|} \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( {\left| {{x^2} – 2x} \right|} \right) = 1(1)}\\{f\left( {\left| {{x^2} – 2x} \right|} \right) = – 1(2)}\end{array}} \right.\)

\(f\left( {\left| {{x^2} – 2x} \right|} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{x^2} – 2x} \right| = {a_1},(3)\left( {1 < {a_1} < 2} \right)}\\{\left| {{x^2} – 2x} \right| = 0(4)}\\{\left| {{x^2} – 2x} \right| = {c_1}\left( {{c_1} < – 1} \right)(VN)}\end{array}} \right.\)

\(f\left( {\left| {{x^2} – 2x} \right|} \right) = – 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{x^2} – 2x} \right| = 1(5)}\\{\left| {{x^2} – 2x} \right| = {d_1}\left( {{d_1} < {c_1} < – 1} \right)(VN)}\end{array}} \right.\)

Dựa vào đồ thị thì (3) có 2 nghiệm phân biệt, (4) có 2 nghiệm, (5) có 3 nghiệm.

Các nghiệm này khác nhau đôi 1. Vậy phương trình \(\left| {f\left( {\left| {{x^2} – 2x} \right|} \right)} \right| = 1\) có 7 nghiệm.