(THPT Bùi Thị Xuân – Huế – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm số \(f\prime (x + 2)\) được cho trong hình vẽ bên

Hàm số \(g(x) = 4f\left( {{x^2}} \right) – {x^6} + 5{x^4} – 4{x^2} + 1\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \(( – 4; – 3)\).

B.\((2; + \infty )\).

C. \(( – \sqrt 2 ;\sqrt 2 )\).

D. \(( – 2; – 1)\).

Lời giải:

\(\begin{array}{l}g(x) = 4f\left( {{x^2}} \right) – {x^6} + 5{x^4} – 4{x^2} + 1 \Rightarrow g\prime (x) = 8xf\prime \left( {{x^2}} \right) – 6{x^5} + 20{x^3} – 8x\\g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow 8xf\prime \left( {{x^2}} \right) – 6{x^5} + 20{x^3} – 8x = 0 \Leftrightarrow 2x\left[ {4f\prime \left( {{x^2}} \right) – 3{x^4} + 10{x^2} – 4} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}2x = 0\\4{f^\prime }({x^2}) – 3{x^4} + 10{x^2} – 4 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 0\\f\prime \left( {{x^2}} \right) = \frac{3}{4}{x^4} – \frac{5}{2}{x^2} + 1\end{array}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)\(\)

Xét:

\(f\prime \left( {{x^2}} \right) = \frac{3}{4}{x^4} – \frac{5}{2}{x^2} + 1\). Đặt \({x^2} = t + 2\), ta có:

\(f\prime (t + 2) = \frac{3}{4}{(t + 2)^2} – \frac{5}{2}(t + 2) + 1 = \frac{3}{4}\left( {{t^2} + 4t + 4} \right) – \frac{5}{2}(t + 2) – 1 = \frac{3}{4}{t^2} + \frac{1}{2}t – 1\)\(\)

Khi đó số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\prime (t + 2)\) và

\(y = \frac{3}{4}{t^2} + \frac{1}{2}t – 1\)\(\)

Ta có đồ thị ta có:

Dựa vào đồ thị ta có: \(f\prime (t + 2) = \frac{3}{4}{t^2} + \frac{1}{2}t – 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = – 2}\\{t = 0}\\{t = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2 = – 2}\\{x + 2 = 0}\\{x + 2 = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = – 4}\\{x = – 2}\\{x = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Ta có bảng xét dấu \(g\prime (x)\) như sau:

Vậy hàm số \(g(x) = 4f\left( {{x^2}} \right) – {x^6} + 5{x^4} – 4{x^2} + 1\) đồng biến trên khoảng \((2; + \infty )\).