The tich tron xoay

(Sở Thái Nguyên 2022) Cho một dụng cụ đựng chất lỏng như hình 1 có phần trên là mặt xung quanh và đáy của hình trụ, phần dưới là mặt xung quanh của hình nón. Biết hình trụ có cùng bán kính đáy \(R\)và cùng chiều cao \(h = 24{\rm{cm}}\)với hình nón. Trong hình 1, lượng chất lỏng có chiều cao bằng \(12{\rm{cm}}\). Lật ngược dụng cụ theo phương vuông góc với mặt đất như hình 2. Khi đó chiều cao của chất lỏng trong hình 2 là

(THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – 2022) Cho hình trụ \(\left( T \right)\) chiều cao bằng \(2a\), hai đường tròn đáy của \(\left( T \right)\) có tâm lần lượt là \(O\) và \({O_1}\), bán kính bằng \(a\). Trên đường tròn đáy tâm \(O\) lấy điểm \(A\), trên đường tròn đáy tâm \({O_1}\) lấy điểm \(B\)sao cho \(AB = \sqrt 5 a\). Thể tích khối tứ diện \(O{O_1}AB\) bằng

(THPT Kim Liên – Hà Nội – 2022) Cắt hình trụ \(\left( T \right)\) có bán kính \(R\) bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng \(a\,\left( {0 < a < R} \right)\) ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích \(16{a^2}\). Diện tích xung quanh của hình trụ \(\left( T \right)\) bằng

(Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho một hình nón đỉnh \(S\) có đáy là đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = \sqrt 5 \) và góc ở đỉnh là \(2\alpha \) với \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\). Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(SO\) tại \(H\) và cắt hình nón theo một đường tròn tâm \(H\). Gọi \(V\) là thể tích của khối nón đỉnh \(O\) và đáy là đường tròn tâm \(H\). Biết \(V = \frac{{50\pi }}{{81}}\) khi \(SH = \frac{a}{b}\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(T = 3{a^2} – 2{b^3}\).

(Sở Bạc Liêu 2022) Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy; một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính của đường tròn đáy cốc nướ

C. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón sao cho đỉnh khối nốn nằm trên mặt cầu (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu.

(Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(2a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng

(Chuyên Hạ Long 2022) Cho hình chóp \(S \cdot ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SA = a\sqrt 7 \) và vuông góc với đáy. Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(SC\) sao cho \(CM < a\). Gọi \((C)\) là hình nón có đỉnh \(C\), các điểm \(B,M,D\) thuộc mặt xung quanh, điểm \(A\) thuộc mặt đáy của hình nón. Tính diện tích xung quanh của \((C)\).

(Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – 2022) Nhân dịp năm mới để trang trí một cây thông Noel, ở sân trung tâm có hình nón \((N)\) như hình vẽ sau. Người ta cuộn quanh cây bằng một sợi dây đèn LED nhấp nháy, bóng đèn hình hoa tuyết từ điểm \(A\) đến điểm \(M\) sao cho sợi dây luôn tựa trên mặt nón. Biết rằng bán kính đáy hình nón bằng \(8m\), độ dài đường sinh bằng \(24m\) và \(M\) là điểm sao cho \(2\overrightarrow {MS} + \overrightarrow {MA} = \vec 0\). Hãy tính chiều dài nhỏ nhất của sợi dây đèn cần có.

(Chuyên Lam Sơn 2022) Một cái bình thủy tinh có phần không gian bên trong là một hình nón có đỉnh hướng xuống dưới theo chiều thẳng đứng. Rót nước vào bình cho đến khi phần không gian trống trong bình có chiều cao \(2\;cm\). Sau đó đậy kín miệng bình bởi một cái nắp phẳng và lật ngược bình để đỉnh hướng lên trên theo chiều thẳng đứng, khi đó mực nước cao cách đỉnh của nón \(8\;cm\) (hình vẽ minh họa bên dướí).

Biết chiều cao của nón là \(h = a + \sqrt b \;cm\). Tính \(T = a + b\).

(THPT Yên Phong 1 – Bắc Ninh – 2022) Cho hình nón đỉnh \(S\) tâm \(O\) có độ dài đường sinh bằng \(SA = a\), đường kính đáy\(AB\). Thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc \(60^\circ \) cắt đường tròn đáy theo dây cung \(MN = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\). Biết rằng khoảng cách từ \(A\) đến \(MN\) bằng \(a\). Thể tích khối nón bằng: