(Chuyên Hạ Long 2022) Cho hình chóp \(S \cdot ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SA = a\sqrt 7 \) và vuông góc với đáy. Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(SC\) sao cho \(CM < a\). Gọi \((C)\) là hình nón có đỉnh \(C\), các điểm \(B,M,D\) thuộc mặt xung quanh, điểm \(A\) thuộc mặt đáy của hình nón. Tính diện tích xung quanh của \((C)\).
A. \(\frac{{16\sqrt 7 }}{{15}}\pi {a^2}\).
B. \(\frac{{8\sqrt {30} }}{{15}}\pi {a^2}\).
C. \(\frac{{32\sqrt 2 }}{{15}}\pi {a^2}\).
D. \(\frac{{16\sqrt 3 }}{9}\pi {a^2}\).
Lời giải:
Lấy điểm \(E\) thuộc đoạn thẳng \(SC\) sao cho \(CE = a\).
Gọi hình nón \(\left( {{C_1}} \right)\) ngoại tiếp hình chóp \(C.BDE\) có đỉnh \(C\).
Gọi \(O = AC \cap BD\). \(O \in BD\) nên thuộc mặt đáy của hình nón \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(CA = 2CO\), điểm \(A\) thuộc mặt đáy của hình nón \((C)\). (1)
Hơn nữa \(CB = CD = CE = a\) suy ra \((BDE)\) vuông góc với trục của hình nón \((C)\) và thiết diện của \((BDE)\) với mặt xung quanh của hình nón \((C)\) là đường tròn, đồng thời \((BDE)\) song song với mặt chứa đáy của hình nón \((C)\). (2)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra hình nón \(\left( {{C_1}} \right)\) đồng dạng với hình nón \((C)\) với tỷ số \(\frac{1}{2}\).
\(SC = 3a,\cos SCB = \frac{1}{3},ED = EB = \sqrt {2{a^2} – \frac{2}{3}{a^2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}a,EO = \sqrt {\frac{4}{3}{a^2} – \frac{1}{2}{a^2}} = \frac{{\sqrt {30} }}{6}a\)\(\)
\({S_{EBD}} = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt 2 \cdot \frac{{a\sqrt {30} }}{6} = \frac{{\sqrt {15} }}{6}{a^2}\)\(\)
\({R_{BDE}} = \frac{{\frac{{4{a^2}}}{3} \cdot a\sqrt 2 }}{{4 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{6}}} = \frac{{2\sqrt {30} }}{{15}}a.\)\(\)
Diện tích xung quanh của hình nón \((C):{S_{xq}} = \pi \cdot \frac{{4a\sqrt {30} }}{{15}} \cdot 2a = \frac{{8\sqrt {30} }}{{15}}\pi {a^2}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Khối tròn xoay
Trả lời