(THPT Yên Phong 1 – Bắc Ninh – 2022) Cho hình nón đỉnh \(S\) tâm \(O\) có độ dài đường sinh bằng \(SA = a\), đường kính đáy\(AB\). Thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc \(60^\circ \) cắt đường tròn đáy theo dây cung \(MN = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\). Biết rằng khoảng cách từ \(A\) đến \(MN\) bằng \(a\). Thể tích khối nón bằng:

Câu hỏi:

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 \pi }}{{12}}\).

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 \pi }}{{18}}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 \pi }}{9}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 \pi }}{3}\).

Lời giải:

Chọn A

Biết rằng khoảng cách từ \(A\) đến \(MN\) bằng \(a \Rightarrow MN\) không vuông góc với \(AB\).

Ta có hình vẽ sau:

Gọi \(I\) là trung điểm \(MN\) thì \(SI \bot MN,\;OI \bot MN\)\( \Rightarrow \widehat {SIO} = 60^\circ \) là góc giữa \(\left( {SMN} \right)\) và mặt phẳng đáy.

\(MN = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow IM = IN = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét \(\Delta OIN\) vuông ở \(I\) có: \(O{I^2} = O{N^2} – I{N^2} = {R^2} – {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = {R^2} – {\frac{a}{3}^2} \Rightarrow OI = \sqrt {{R^2} – {{\frac{a}{3}}^2}} \).

Xét \(\Delta SIM\) vuông ở \(I\) có: \(S{I^2} = S{M^2} – M{I^2} = {a^2} – {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = {\frac{{2a}}{3}^2} \Rightarrow SI = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).

Xét \(\Delta SIO\) vuông ở \(O\) có: \(\cos 60^\circ = \frac{{OI}}{{SI}} = \frac{{\sqrt {{R^2} – \frac{{{a^2}}}{3}} }}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{\sqrt {3{R^2} – {a^2}} }}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow 4\left( {3{R^2} – {a^2}} \right) = 2{a^2} \Leftrightarrow {R^2} = \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\(sin60^\circ = \frac{{SO}}{{SI}} \Rightarrow SO = SI.\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 2 a}}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\(V = \frac{1}{3} \cdot SO.\left( {\pi {R^2}} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt 2 a}}{2} \cdot \pi \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{\pi \sqrt 2 {a^3}}}{{12}}\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Khối tròn xoay