(Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – 2022) Nhân dịp năm mới để trang trí một cây thông Noel, ở sân trung tâm có hình nón \((N)\) như hình vẽ sau. Người ta cuộn quanh cây bằng một sợi dây đèn LED nhấp nháy, bóng đèn hình hoa tuyết từ điểm \(A\) đến điểm \(M\) sao cho sợi dây luôn tựa trên mặt nón. Biết rằng bán kính đáy hình nón bằng \(8m\), độ dài đường sinh bằng \(24m\) và \(M\) là điểm sao cho \(2\overrightarrow {MS} + \overrightarrow {MA} = \vec 0\). Hãy tính chiều dài nhỏ nhất của sợi dây đèn cần có.
A. \(8\sqrt {19} (m)\).
B. \(8\sqrt {13} (\;m)\).
C. \(8\sqrt 7 (m)\).
D. \(9\sqrt {12} (m)\).
Lờí giải
Ta có: \(2\overrightarrow {MS} + \overrightarrow {MA} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {SM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {SA} \Rightarrow SM = \frac{1}{3}SA = 8(m)\).
Trải hình nón ra như hình bên dưới
Khi đó chu vi đáy của hình nón cũng là độ dài cung \(AA\prime \) suy ra \(2\pi R = 16\pi (m) = {l_{AA\prime }}\).
Góc \(\alpha = ASA\prime = \frac{{{l_{AA\prime }}}}{{SA}} = \frac{{16\pi }}{{24}} = \frac{{2\pi }}{3}\)
Chiều dài nhỏ nhất của sợi dây đèn cần có là đoạn thẳng
\(AM = \sqrt {S{A^2} + S{M^2} – 2SA \cdot SM \cdot \cos \alpha } = \sqrt {{{24}^2} + {8^2} – 2 \cdot 24 \cdot 8 \cdot \cos \frac{{2\pi }}{3}} = 8\sqrt {13} (m).\)
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Khối tròn xoay
Trả lời