(Chuyên Lam Sơn 2022) Một cái bình thủy tinh có phần không gian bên trong là một hình nón có đỉnh hướng xuống dưới theo chiều thẳng đứng. Rót nước vào bình cho đến khi phần không gian trống trong bình có chiều cao \(2\;cm\). Sau đó đậy kín miệng bình bởi một cái nắp phẳng và lật ngược bình để đỉnh hướng lên trên theo chiều thẳng đứng, khi đó mực nước cao cách đỉnh của nón \(8\;cm\) (hình vẽ minh họa bên dướí).
Biết chiều cao của nón là \(h = a + \sqrt b \;cm\). Tính \(T = a + b\).
A. 22.
B. 58.
C. \(86.\)
D. 72.
Lời giải:
Để ý rằng có 3 hình nón đồng dạng: Phần không gian bên trong bình thủy tinh (có thể tích \(V\)), phần không chứa nước khi đặt bình có đỉnh hướng lên (có thể tích \({V_1}\)), phần chứa nước khi đặt bình có đỉnh hướng xuống (có thể tích \({V_2}\)). Do tỷ số đồng dạng bằng với tỷ số của chiều cao và tỷ số thể tích là lập phương tỷ số đồng dạng nên ta có \(\frac{V}{{{V_1}}} = \frac{{{h^3}}}{{{8^3}}};\frac{V}{{{V_2}}} = \frac{{{h^3}}}{{{{(h – 2)}^3}}} \Rightarrow {V_1} = \frac{{512V}}{{{h^3}}};{V_2} = \frac{{{{(h – 2)}^3}V}}{{{h^3}}}\).
Mà \({V_1} + {V_2} = V\) nên ta có: \(\frac{{512V}}{{{h^3}}} + \frac{{{{(h – 2)}^3}V}}{{{h^3}}} = V \Rightarrow 512 + {h^3} – 6{h^2} + 12h – 8 = {h^3} \Leftrightarrow {h^2} – 2h – 84 = 0 \Rightarrow h = 1 + \sqrt {85} \)
Vậy \(T = 86\)
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Khối tròn xoay
Trả lời