(Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(2a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng
A. \(\frac{{25\pi {a^2}}}{{12}}\).
B. \(\frac{{25\pi {a^2}}}{3}\).
C. \(\frac{{25\pi {a^2}}}{9}\).
D. \(\frac{{25\pi {a^2}}}{6}\).
Lời giải:
Chọn B
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Dựng đường thẳng \(d\) qua \(G\) và song song với \(SA \Rightarrow d \bot \left( {ABC} \right)\), \(d\) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(ABC\).
Dựng đường trung trực cạnh \(SA\), cắt \(d\) tại \(I\) thì \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp \(S.ABC\) và bán kính \(R = IA\).
Ta có:
\(\widehat {\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SMA} = 45^\circ \)
\( \Rightarrow SA = AM.\tan 45^\circ = \sqrt 3 a\).
\(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}\).
Bán kính mặt cầu \(IA = \sqrt {A{G^2} + I{G^2}} = \sqrt {A{G^2} + \frac{{S{A^2}}}{4}} = \frac{{5\sqrt 3 a}}{6}\).
Diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{25\pi {a^2}}}{3}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Khối tròn xoay
Trả lời