(Sở Vĩnh Phúc 2022) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x,y} \right)\) thoả mãn \({3^{4{x^2} – 1}}\log \left( {4{x^2} + 4x + 2} \right) = {3^{y – 2x – 4}}\log \left( {2x + y – 1} \right)\) đồng thời \(x,y \le 2021\)

A. \(15\).

B. \(28\).

C. \(22\).

D. \(35\).

Lời giải:

Chọn C

\({3^{4{x^2} – 1}}\log \left( {4{x^2} + 4x + 2} \right) = {3^{y – 2x – 4}}\log \left( {2x + y – 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {3^{4{x^2} + 4x + 2}}\log \left( {4{x^2} + 4x + 2} \right) = {3^{2x + y – 1}}\log \left( {2x + y – 1} \right)\left( 1 \right)\)

Xét \(f\left( t \right) = {3^t}.\log t\) ( \(t \ge 2\)).

\(f’\left( t \right) = {3^t}\ln 3.\log t + \frac{{{3^t}}}{{t.\ln 10}} = {3^t}\left( {\ln 3.\log t + \frac{1}{{t.\ln 10}}} \right) > 0\;,\;\forall t \ge 2\).

Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4{x^2} + 4x + 2 = 2x + y – 1 \Leftrightarrow y = 4{x^2} + 2x + 3\)

\(y \le 2021 \Leftrightarrow 4{x^2} + 2x + 3 \le 2021 \Leftrightarrow \frac{{ – 1 – 3\sqrt {897} }}{4} \le x \le \frac{{ – 1 + 3\sqrt {897} }}{4}\)

Vì \(x \in {\mathbb{Z}^ + } \cap \left( {0;2022} \right)\) nên \(x \in \left\{ {1;2;3;…;21;22} \right\}\).

Vì mỗi giá trị của \(x\) có đúng một giá trị của \(y\) nên có 22 cặp số nguyên dương \(\left( {x,y} \right)\) thoả mãn.