(Sở Thanh Hóa 2022) Gọi \(S\) là tập tất cả các số nguyên \(y\) sao cho với mỗi \(y \in S\) có đúng 10 số nguyên \(x\) thoả mãn \({2^{y – x}} \ge {\log _3}\left( {x + {y^2}} \right)\). Tổng các phần tử của \(S\) bẳng

A. 7.

B. \( – 4\).

C. 1.

D. \( – 1\).

Lời giải:

Điều kiện: \(x > – {y^2}\). Khi đó bpt \( \Leftrightarrow g(x) = {\log _3}\left( {x + {y^2}} \right) – {2^{y – x}} \le 0\).

Có \(g\prime (x) = \frac{1}{{\left( {x + {y^2}} \right)\ln 3}} + {2^{y – x}}\ln 2 > 0,\left( {x + {y^2} > 0} \right)\).

Bảng biến thiên:

Kẻ thêm \(y = 0 \Rightarrow g(x) = 0 \Leftrightarrow x = {x_0}\) như bảng biến thiên.

Vậy tập nghiệm của bất phương trinh là \({S_x} = \left( { – {y^2};{x_0}} \right]\) chửa đủng 10 số nguyên là các số \( – {y^2} + 1, \ldots , – {y^2} + 10\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow – {y^2} + 10 \le {x_0} < – {y^2} + 11\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}g\left( { – {y^2} + 10} \right) \le 0\\g\left( { – {y^2} + 11} \right) > 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} log{ _3}10 – {2^{y + {y^2} – 10}} \le 0 \\log{ _3}11 – {2^{y + {y^2} – 11}} > 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{y^2} + y – 10 \ge {\log _2}\left( {{{\log }_3}10} \right)\\{y^2} + y – 11 < {\log _2}\left( {{{\log }_3}11} \right)\end{array}\end{array} \Rightarrow y \in \{ – 4,3\} .} \right.} \right.\end{array}\)