(Sở Thái Nguyên 2022) Cho \(x,y > 0;x + 3y > 0\) thỏa mãn \(2022\left( {{{\log }_2}\sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + 3y}}} – 1} \right) \le \sqrt {x + 3y} – \sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4}} \). Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} – 14x – 2y + 2022\) bằng

A. \(4124\)

B. \(4042\).

C. \(4044\)

D. \(4122\)

Lời giải:

Chọn A

Ta có \(2022\left( {{{\log }_2}\sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + 3y}}} – 1} \right) \le \sqrt {x + 3y} – \sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4}} \)

\( \Leftrightarrow 2022\left( {{{\log }_2}\sqrt {{x^2} + {y^2}} – {{\log }_2}\sqrt {x + 3y} – {{\log }_2}2} \right) \le \sqrt {x + 3y} – \sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4}} \)

\( \Leftrightarrow 2022\left( {{{\log }_2}\sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4}} – {{\log }_2}\sqrt {x + 3y} } \right) \le \sqrt {x + 3y} – \sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4}} \)

\( \Leftrightarrow 2022{\log _2}\sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4}} + \sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4}} \le 2022{\log _2}\sqrt {x + 3y} + \sqrt {x + 3y} ,\;\left( * \right)\)

Ta xét hàm số \(y = f\left( t \right) = t + 2022{\log _2}t,\forall t > 0.\)

Ta có \(y’ = f’\left( t \right) = 1 + \frac{{2022}}{{t\ln 2}} > 0\;,\forall t > 0.\) Do đó, hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định.

Từ \(\left( * \right)\) suy ra \(\sqrt {x + 3y} \ge \sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4}} \Leftrightarrow x + 3y \ge \frac{{{x^2} + {y^2}}}{4} \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 6} \right)^2} \le 40\) \(\left( C \right)\)

\(P = {x^2} + {y^2} – 14x – 2y + 2022 = {\left( {x – 7} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + 1972 \Leftrightarrow {\left( {x – 7} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = P – 1972\;\left( {C’} \right)\)Dễ thấy: \(\left( C \right)\left\{ \begin{array}{l}I\left( {2;6} \right)\\R = \sqrt {40} \end{array} \right.\); \(\left( {C’} \right)\left\{ \begin{array}{l}I’\left( {7;1} \right)\\R’ = \sqrt {P – 1972} > 0\end{array} \right.\)

Mà: \(II’ = \sqrt {50} > R \Rightarrow I’ \notin \left( {C’} \right)\)

\({R’_{\min }} \Leftrightarrow \sqrt {{P_{\min }} – 1972} \) khi và chỉ khi \(\left( C \right);{\kern 1pt} \)\(\left( {C’} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau.

Ta có \(R + \sqrt {{P_{\min }} – 1972} = II’ \Leftrightarrow \sqrt {40} + \sqrt {{P_{\min }} – 1972} = \sqrt {50} \Leftrightarrow {P_{\min }} = 2062 – 40\sqrt 5 \)

\({R’_{{\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{ax}}}} \Leftrightarrow \sqrt {{P_{{\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{ax}}}} – 1972} \) khi và chỉ khi \(\left( C \right);\)\(\left( {C’} \right)\) tiếp xúc trong với nhau với \(R’ > R\).

\(\sqrt {{P_{{\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{ax}}}} – 1972} – R = II’ \Leftrightarrow \sqrt {{P_{{\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{ax}}}} – 1972} – \sqrt {40} = \sqrt {50} \Leftrightarrow {P_{{\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{ax}}}} = 2062 + 40\sqrt 5 \)

Vậy: \(S = {P_{{\rm{max}}}} + {P_{\min }} = 4124.\)