(Sở Phú Thọ 2022) Xét các số thực dương \(x\,,\,y\) thỏa mãn \(2\left( {{x^2} + {y^2} + 4} \right) + {\log _{2022}}\left( {\frac{2}{x} + \frac{2}{y}} \right) = \frac{1}{2}{\left( {xy – 4} \right)^2}\). Khi biểu thức \(P = x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của \(\frac{y}{x}\) bằng

A. \(4\).

B. \(2\).

C. \(\frac{1}{2}\).

D. \(\frac{1}{4}\).

Lời giải:

Chọn C

\(2\left( {{x^2} + {y^2} + 4} \right) + {\log _{2022}}\left( {\frac{2}{x} + \frac{2}{y}} \right) = \frac{1}{2}{\left( {xy – 4} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} + 16 + 2{\log _{2022}}\left( {\frac{{2x + 2y}}{{xy}}} \right) = {\left( {xy} \right)^2} – 8xy + 16\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2x + 2y} \right)^2} + 2{\log _{2022}}\left( {2x + 2y} \right) = {\left( {xy} \right)^2} + 2{\log _{2022}}\left( {xy} \right){\rm{ }}\left( * \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + 2{\log _{2022}}t\) với \(t > 0\).

Ta có: \(f’\left( t \right) = 2t + \frac{2}{{t.\ln 2022}} > 0,\,\,\forall t > 0\).

Do đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {2x + 2y} \right) = f\left( {xy} \right) \Leftrightarrow 2x + 2y = xy \Leftrightarrow x\left( {y – 2} \right) = 2y \Leftrightarrow x = \frac{{2y}}{{y – 2}}\,,\,\left( {y > 2} \right)\).

\(P = x + 4y = 4y + \frac{{2y}}{{y – 2}} = 4\left[ {\left( {y – 2} \right) + \frac{1}{{y – 2}}} \right] + 10 \ge 18\).

Vậy \({P_{\min }} = 18\) khi \(y – 2 = \frac{1}{{y – 2}} \Leftrightarrow y = 3 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{1}{2}\).