(Sở Ninh Bình 2022) Cho \(f(x)\) là hàm số bậc ba. Hàm số \(f\prime (x)\) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {{e^x} – 1} \right) – x – m = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt?

A. \(m < f(2)\).

B. \(m > f(0)\).

C. \(m < f(0)\).

D. \(m > f(2)\).

Lời giải:.

Cách 1. Ta có

\(f\left( {{e^x} – 1} \right) – x – m = 0 \Leftrightarrow f\left( {{e^x} – 1} \right) – x = m.\)\(\)

Đặt \(h(x) = f\left( {{e^x} – 1} \right) – x\) thì \(h\prime (x) = {e^x}f\prime \left( {{e^x} – 1} \right) – 1\). Suy ra

\(h\prime (x) = 0 \Leftrightarrow {e^x}f\prime \left( {{e^x} – 1} \right) – 1 = 0 \Leftrightarrow f\prime \left( {{e^x} – 1} \right) = \frac{1}{{{e^x}}}.\)\(\)

Đặt \(t = {e^x} – 1,t > – 1\) thì \((1)\) trở thành \(f\prime (t) = \frac{1}{{t + 1}}\). Ta có đồ thị sau

Từ đồ thị ta có nghiệm của phương trình (2) là \(t = 0\), suy ra \({e^x} – 1 = 0\) hay \(x = 0\). Ta có bảng của \(h(x)\) như trên. Từ đó, phương trình \(h(x) = m\) có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi \(m > f(0)\).

Cách 2. Từ đồ thị ta có \(f\prime (x) = {(x + 1)^2}\). Suy ra

\(f(x) = \frac{1}{3}{(x + 1)^3} + C.\)\(\)

Thay vào phương trình, ta được

\(\frac{{{e^{3x}}}}{3} + C – x – m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{{e^{3x}}}}{3} – x + C.\)\(\)

Đặt \(g(x) = \frac{{{e^{3x}}}}{3} – x + C\). Ta có

\(g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow {e^{3x}} – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)\(\)

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, phương trình có hai nghiệm thực khi và chỉ khi \(m > f(0)\).