(Sở Lạng Sơn 2022) Với \({\rm{a}}\)là tham số thực để bất phương trình \({2^x} + {3^x} \ge ax + 2\) có tập nghiệm là \(R\), khi đó

A. \(a \in \left( {1;3} \right)\).

B. \(a \in \left( {0;1} \right)\).

C. \(a \in \left( { – \infty ;0} \right)\).

D. \(a \in \left( {3; + \infty } \right)\).

Lời giải:

Chọn A

\({2^x} + {3^x} \ge ax + 2\)\( \Leftrightarrow \)\({2^x} + {3^x} – ax – 2 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)(1).

Xét \(f(x) = {2^x} + {3^x} – ax – 2\) liên tục trên \(R\).

Ta có

\(f'(0) = {2^0} + {3^0} – a.0 – 2 = 0\)

\(f'(x) = {2^x}\ln 2 + {3^x}\ln 3 – a\).

Để \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right),\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow x = 0\) là điểm cực tiểu

Vì \(x = 0\) là điểm cực tiểu \(f’\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow \ln 3 + \ln 2 = a \Leftrightarrow a = \ln 6\)

Thử lại:

\(\begin{array}{l}a = \ln 6 \Rightarrow f\left( x \right) = {2^x} + {3^x} – \ln 6.x – 2\\f’\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + {3^x}\ln 3 – \ln 6\end{array}\)

Ta có vế trái \(h\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + {3^x}\ln 3\) đồng biến; vế phải \(k\left( x \right) = \ln 6\) là hàm hằng.

\( \Leftrightarrow x = 0\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên \( \Rightarrow f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy \(a = \ln 6\).