Câu hỏi:
(Sở Hà Tĩnh 2022) Có bao nhiêu cặp số \(\left( {x;y} \right)\) (trong đó \(x,y\) nguyên dương thuộc đoạn \(\left[ {0;2022} \right]\) thỏa mãn điều kiện \({2^x} – {\log _2}\left( {{y^2} + 615} \right) = {y^2} – x + 615\)
A. \(1\).
B.\(3\).
C.\(4\).
D.\(2\).
Lời giải:
Chọn A
\({2^x} + x = \left( {{y^2} + 615} \right) + {\log _2}\left( {{y^2} + 615} \right)\).
Đặt \(t = {\log _2}\left( {{y^2} + 615} \right) \Leftrightarrow {y^2} + 615 = {2^t}\). Khi đó ta có \({2^x} + x = {2^t} + t\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} + x,x \in \mathbb{R}\), ta có \(f’\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do vậy \({2^x} + x = {2^t} + t \Leftrightarrow x = t \Leftrightarrow x = {\log _2}\left( {{y^2} + 615} \right) \Leftrightarrow {y^2} = {2^x} – 615\).
Theo bài ra \(0 \le y \le 2022 \Leftrightarrow 0 \le {y^2} \le {2022^2} \Leftrightarrow 0 \le {2^x} – 615 \le {2022^2} \Leftrightarrow {\log _2}615 < x < {\log _2}\left( {{{2022}^2} + 615} \right)\)
\( \Leftrightarrow 9,3 \le x \le 21,9\).
Khi \(x\) chạy từ \(10\) tới \(21\), ta thấy \(x = 12 \Rightarrow y = 59\). Vậy có \(1\) cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm hàm số mũ – lôgarit
Trả lời